Solucione o problema abaixo, usando as condições de KKT. O ponto encontrado é solução global? Justifique!
cc minimizar & f(x)=x1^2+x2^2+x3^2 sujeito a: & 2 x1+x2-5 <= 0 & x1+x3 <= 2 & x1 >= 1 & x2 >= 2 & -x3 <= 0

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos um problema de otimização:
minimizar
f(x)=x1^2+x2^2+x3^2
sujeito às restrições lineares
2x1+x2-5<=0, x1+x3-2<=0, x1>=1,;x2>=2,;x3>=0
Conteúdo: Métodos de otimização com condições de Karush–Kuhn–Tucker (KKT) e convexidade.
O que vamos precisar:
  • Montar a Lagrangiana com multiplicadores λ₁…λ₅.
  • Escrever as condições KKT (estacionaridade, complementar de folga, sinais).
  • Resolver para achar o ponto candidato.
  • Verificar se, sendo o problema convexo, esse ponto é solução global.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana
L(x,lambda)=x1^2+x2^2+x3^2 +lambda1(2x1+x2-5) +lambda2(x1+x3-2) +lambda3(1-x1) +lambda4(2-x2) +lambda5(-x3),
com λᵢ≥0.
As condições KKT são:
  1. Estacionaridade ∇ₓℒ=0: partialx1:2x1+2lambda1+lambda2-lambda3=0, partialx2:2x2+lambda1-lambda4=0, partialx3:2x3+lambda2-lambda5=0
  2. Complementar de folga: λᵢ·gᵢ(x)=0 para cada restrição gᵢ(x)≤0.
  3. Primal factível e λᵢ≥0.

Passo 3

Testamos o canto 2·1+2·0+0-lambda3=0implies lambda3=2, 2·2+0-lambda4=0implies lambda4=4, 2·0+0-lambda5=0implies lambda5=0 . Ele satisfaz todas as restrições:
  • ,
  • ,
  • .
    Agora, pelas folgas:
  • g₁<0⇒λ₁=0, g₂<0⇒λ₂=0;
  • g₃=0⇒λ₃≥0, g₄=0⇒λ₄≥0, g₅=0⇒λ₅≥0.
    Na estacionaridade:
Tudo consistente (λ₃=2,λ₄=4,λ₅=0 são ≥0). Logo satisfaz KKT.

Passo 4

Como é quadrática estritamente convexa (matriz Hessiana positiva definida) e as restrições são lineares (formam região convexa), qualquer ponto que satisfaça KKT é solução global.

Resposta

O ponto ótimo é
x^*=(1,2,0),
com valor ótimo
f(x^*)=1^2+2^2+0^2=5
E por convexidade, esse ponto é solução global.

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