- Seleção de Portfólio. Um investidor tem um capital de $ 5.000 e dois investimentos potenciais. Seja
, que denota sua alocação no investimento
em milhares de dólares. A partir de dados históricos, os investimentos em 1 e 2 têm um retorno anual esperado de
e
, respectivamente. Adicionalmente, o risco total envolvido com os investimentos 1 e 2 , medido pela variância do retorno total, é dado por
, de forma que o risco aumenta com o investimento total e o valor de cada investimento individual. O investidor gostaria de maximizar seu retorno e, simultaneamente, minimzar seu risco. Claramente, ambos os objetivos não podem ser, em geral, atingidos ao mesmo tempo. Existem várias abordagens possíveis. Por exemplo, pode-se minimizar o risco sujeito a uma restrição que impõe um limite inferior no retorno esperado. Alternativamente, o retorno esperado e o risco podem ser combinados em uma função objetivo:
A constante não negativa
reflete a troca (tradeoff) entre retorno e risco. Se
, o investidor não leva em consideração o risco (o consumidor tem gosto pelo risco). Por outro lado, se
, na medida que for maior, a contribuição do retorno à função objetivo se torna cada vez menos importante e o investidor estará essencialmente minimizado risco (o consumidor é avesso ao risco).
Considere, neste caso, que a modelagem do problema se faz segundo (1) e que o consumidor em questão tem aversão ao risco, estabelecida por
(considera duas vezes o risco em relação ao retorno!). Usando as condições de KKT, encontre uma solução ótima deste problema. É única? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. O enunciado fala de um investidor com $5.000 (ou seja, 5 em milhares) e dois investimentos,
e
, cada um em milhares de dólares. Ele quer maximizar o retorno anual
mas também quer controlar o risco, que é medido pela variância
União desses dois objetivos vira a função
onde o “2” na frente diz que ele valoriza o risco duas vezes mais que o retorno. Além disso, temos as restrições:
-
, -
(orçamento de 5 mil).
O método que vamos usar é o das condições de Karush–Kuhn–Tucker (KKT), que mistura gradiente zero com os multiplicadores de Lagrange e complementaridade. Não precisa ter visto a teoria toda, vou explicar passo a passo.
Passo 2
Escrevendo a Lagrangiana
[
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda,\mu_1,\mu_2)
f(x_1,x_2)
;+;\lambda,(5 - x_1 - x_2)
;+;\mu_1,x_1
;+;\mu_2,x_2,
]
;+;\lambda,(5 - x_1 - x_2)
;+;\mu_1,x_1
;+;\mu_2,x_2,
]
onde
-
é o multiplicador da restrição orçamentária , -
são para e .
Compute os gradientes parciais de
:
Passo 3
As condições KKT dizem:
- Estacionaridade
- Complementaridade
- Viabilidade primal e dual:
Passo 4
Tentar a solução interior (ou seja,
,
,
). aí
.
As equações viram
As equações viram
Resolva: da segunda,
Substitui na primeira:
Então
. Verifica
, tudo positivo, consistente.
Passo 5
Só falta checar que é máximo único. Como
é quadrática com Hessiana negativa definida
ela é estritamente côncava, logo o ponto encontrado é o único ótimo global.
Resposta
A solução ótima é
Ela é única, pois a função objetivo é estritamente côncava e respeita as restrições.