1. Considere o seguinte problema: Usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extramos (máximos e mínimos) da função f(x, y)=I y restrita so vínculo g(x, y)=\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1. Com respecto as problema proposto, responda os items abaixo:
    a) Escreva o sistema de equaçōss usando os Multiplicadores de Lagrange.
    b) Resolva o sistema obtido.
    c) Determine os pontos de máximo e minimo.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos (máximos e mínimos) da função restrita. As informações dadas são:
f(x,y)=xy
g(x,y)=\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1
As perguntas são:
(a) Escrever o sistema de equações usando multiplicadores de Lagrange.
(b) Resolver o sistema obtido.
(c) Determinar quais pontos são máximos e quais são mínimos (e os valores de f nesses pontos).

Passo 2

Explicando o método (rapidinho e de forma prática): para encontrar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y)=1 procuramos \lambda tal que os vetores gradiente satisfaçam
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Aqui \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=(f_x,f_y). O mesmo para \nabla g. Essa condição significa que, no ponto de máximo/min, a direção de maior subida de f é paralela à direção de maior variação da restrição — por isso aparece o escalar \lambda.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais e escrevemos o sistema. Para f(x,y)=xy temos
f_x = y,\qquad f_y = x.
Para g(x,y)=\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{2} temos
g_x = \frac{x}{4},\qquad g_y = y.
A condição \nabla f=\lambda\nabla g gera as duas equações
y=\lambda\frac{x}{4},\qquad x=\lambda y,
e juntamos a restrição
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1.
Portanto o sistema (resposta do item (a)) é:
\begin{cases} y=\lambda\frac{x}{4},\\[4pt] x=\lambda y,\\[4pt] \displaystyle \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Primeiro tratamos possíveis casos especiais: se x=0 então da restrição \dfrac{y^{2}}{2}=1 vem y=\pm\sqrt{2}. Mas a primeira equação do sistema exige y=\lambda\frac{x}{4}=\lambda\cdot 0=0, contradizendo y=\pm\sqrt{2}. Logo não há solução com x=0. Analogamente, se y=0 então \dfrac{x^{2}}{8}=1 x=\pm 2\sqrt{2}, mas a segunda equação pede x=\lambda y=\lambda\cdot 0=0, contradição. Portanto não há solução com y=0. Concluímos que em todas as soluções devemos ter x\neq 0 e y\neq 0.

Passo 5

Como x\neq0 e y\neq0 podemos manipular as duas equações para eliminar \lambda. Da primeira obtemos
\lambda=\frac{4y}{x}.
Da segunda obtemos
\lambda=\frac{x}{y}.
Igualando as duas expressões para \lambda vem
\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}.
Multiplicando em cruz:
4y^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4y^{2}.
Isto implica
x=\pm 2y.

Passo 6

Substituímos x=\pm 2y na restrição para achar y. Primeiro com x=2y:
\frac{(2y)^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1
\frac{4y^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1
\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}=1
y^{2}=1\quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.
Para cada y obtemos x=2y, logo os pontos são (2,1) e (-2,-1).
Agora com x=-2y:
\frac{(-2y)^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1
o cálculo é idêntico (porque aparece x^{2}), então novamente y^{2}=1 e y=\pm1. Para y=1 obtemos x=-2; para y=-1 obtemos x=2. Assim os pontos são (-2,1) e (2,-1).
Podemos também calcular \lambda em cada caso (não estritamente necessário, mas é parte de “resolver o sistema”): usando \lambda=x/y,
(2,1)\Rightarrow \lambda=2,\quad (-2,-1)\Rightarrow \lambda=2,
(-2,1)\Rightarrow \lambda=-2,\quad (2,-1)\Rightarrow \lambda=-2.

Passo 7

Agora avaliamos f(x,y)=xy nesses pontos para classificar extremos.
f(2,1)=2\cdot 1=2,
f(-2,-1)=(-2)\cdot(-1)=2,
f(-2,1)=(-2)\cdot 1=-2,
f(2,-1)=2\cdot(-1)=-2.
Como a restrição define uma curva fechada (elipse) e f é contínua, os extremos encontrados são globais sobre essa curva. Portanto os valores máximos de f são 2 nos pontos (2,1) e (-2,-1); os valores mínimos são -2 nos pontos (-2,1) e (2,-1).

Resposta

(a) \begin{cases} y=\lambda\frac{x}{4},\\[4pt] x=\lambda y,\\[4pt] \displaystyle \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1. \end{cases}
(b) Soluções: (2,1) com \lambda=2; (-2,-1) com \lambda=2; (-2,1) com \lambda=-2; (2,-1) com \lambda=-2.
(c) Máximos: f=2 em (2,1) e (-2,-1). Mínimos: f=-2 em (-2,1) e (2,-1).]

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