Considere a seguinte problema de valor inicial definido no intervalo
:
(a) [2,5] Determine a solução explícita do problema, o mínimo local dela e faça um esboço do gráfico de
. (Dica: Use o critério do ponto crítico e o fato de que as funções
e
sĩo assintotas verticais da solução).
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação diferencial com condição inicial no intervalo
:
- Determinar a solução explícita do problema de valor inicial
- Encontrar o mínimo local dessa solução
- Fazer um esboço (descrição) do gráfico de
Informações que o enunciado dá e que vamos usar:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - O intervalo onde a solução é considerada é
. - Dica: as retas
e são assíntotas verticais da solução (ou seja, o denominador da solução se anula nesses pontos).
Passo 2
Identificar que a equação é separável e separar as variáveis (aqui eu explico do zero como funciona separação de variáveis).
Explicação do método: uma equação diferencial ordinária é separável quando pode ser escrita na forma
. Nesse caso podemos rearranjar para
e integrar ambos os lados. A integração dá uma relação implicita entre
e
, que então resolvemos para
.
Aplicando ao nosso caso:
Logo a equação é separável e podemos escrever
Passo 3
Integrar ambos os lados e resolver para
. Vou mostrar a integral passo a passo.
Integramos:
Calcule o lado esquerdo:
(porque a primitiva de
é
).
Calcule o lado direito:
Juntando as constantes num só
(tomando
ou, mais diretamente, escrevendo uma constante na equação final) obtemos a relação
Agora resolvemos para
:
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
na equação encontrada:
Como
, segue que
Substituindo
na expressão para
:
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por
:
Passo 5
Fatorar o denominador e mostrar a forma final e a relação com as assíntotas verticais.
O polinômio quadratic
fatoriza como
Portanto a solução explícita fica
Dessa forma já se vê que
e
são zeros do denominador; por isso são assíntotas verticais da solução (o valor de
tende a infinito quando
se aproxima desses pontos), consistente com a dica do enunciado.
Passo 6
Determinar os pontos críticos e classificar o mínimo local (critério do ponto crítico explicado e aplicado).
Um ponto crítico é onde
ou onde
é indefinido. Temos a expressão original
Observações úteis:
-
para todo , e no nosso caso não é zero (o numerador é constante), então para todo onde a solução estiver definida. - Portanto o sinal de
é determinado unicamente pelo fator .
Resolver
é equivalente a resolver
, isto é
Então
é o único ponto crítico interior ao intervalo
.
Para classificar (mínimo ou máximo) usamos o teste de monotonicidade: se a derivada passa de negativa para positiva no ponto crítico, é mínimo; se passa de positiva para negativa, é máximo.
Verificamos o sinal de
:
- Para
temos e, como , então : a função está decrescendo em . - Para
(até ) temos , logo : a função está crescendo em .
Portanto em
a função passa de decrescente para crescente: isso caracteriza um mínimo local em
.
Passo 7
Calcular o valor mínimo
explicitamente (passo a passo das substituições).
Substituindo
em
:
Portanto o mínimo local acontece no ponto
.
Passo 8
Análise do comportamento nas assíntotas e sinal da solução (útil para o esboço).
Vamos estudar os limites quando
se aproxima das bordas do intervalo
.
- Quando
: o fator , o fator , então . Assim
- Quando
: o fator , o fator , então . Assim
Portanto a solução tende a
perto das duas assíntotas verticais do intervalo. Além disso, para um ponto teste (por exemplo
) temos
que é positivo; de fato a solução é positiva em todo o intervalo
porque o denominador
é negativo para todo
, e o numerador é
, daí a razão é positiva.
Resumo do comportamento:
-
para todo . -
quando e quando . - A função decresce em
, atinge mínimo em , e cresce em .
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição detalhada para desenho rápido na prova) e observações finais, com uma dica de como desenhar sem calculadora.
Como desenhar o gráfico:
- Trace as retas verticais
e como assíntotas (linhas tracejadas). - Em ambos os lados dessas linhas, a curva tende a
. - No intervalo
a curva está toda acima do eixo . - A curva vem do
quando , desce monotonamente até o ponto , e depois sobe monotonamente até quando . - Marque o ponto inicial
(ele fica entre o mínimo e a assíntota direita). - Não há zeros de
no intervalo; a curva não cruza o eixo .
Dica prática: para esboço rápido calcule 3 pontos chave: valor perto de assíntota direita ou esquerda (ver tendência), o mínimo em
, e o valor em
; ligue-os respeitando monotonicidade.
Resposta
Mínimo local em
Esboço: assíntotas verticais em