Considere a seguinte problema de valor inicial definido no intervalo (-5,1) :
y^{\prime}=2 y^{2}+x y^{2} ; \quad y(0)=2 / 5,
(a) [2,5] Determine a solução explícita do problema, o mínimo local dela e faça um esboço do gráfico de y(t). (Dica: Use o critério do ponto crítico e o fato de que as funções x=-5 e x=1 sĩo assintotas verticais da solução).

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação diferencial com condição inicial no intervalo (-5,1):
  • Determinar a solução explícita do problema de valor inicial
  • Encontrar o mínimo local dessa solução
  • Fazer um esboço (descrição) do gráfico de y(x)
Informações que o enunciado dá e que vamos usar:
  • A equação diferencial é y' = 2y^{2} + x y^{2}.
  • A condição inicial é y(0)=2/5.
  • O intervalo onde a solução é considerada é (-5,1).
  • Dica: as retas x=-5 e x=1 são assíntotas verticais da solução (ou seja, o denominador da solução se anula nesses pontos).

Passo 2

Identificar que a equação é separável e separar as variáveis (aqui eu explico do zero como funciona separação de variáveis).
Explicação do método: uma equação diferencial ordinária é separável quando pode ser escrita na forma \dfrac{dy}{dx} = g(x)\,h(y). Nesse caso podemos rearranjar para \dfrac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx e integrar ambos os lados. A integração dá uma relação implicita entre x e y, que então resolvemos para y.
Aplicando ao nosso caso:
y' = 2y^{2} + x y^{2} = y^{2}(2+x).
Logo a equação é separável e podemos escrever
\frac{dy}{dx} = y^{2}(2+x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}} = (2+x)\,dx.

Passo 3

Integrar ambos os lados e resolver para y. Vou mostrar a integral passo a passo.
Integramos:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int (2+x)\,dx.
Calcule o lado esquerdo: \displaystyle \int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_1 (porque a primitiva de y^{-2} é -y^{-1}).
Calcule o lado direito:
\int (2+x)\,dx = 2x + \frac{x^{2}}{2} + C_2.
Juntando as constantes num só C (tomando C=C_2-C_1 ou, mais diretamente, escrevendo uma constante na equação final) obtemos a relação
- \frac{1}{y} = 2x + \frac{x^{2}}{2} + C.
Agora resolvemos para y:
\frac{1}{y} = -\left(2x + \frac{x^{2}}{2} + C\right) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{\,2x + \dfrac{x^{2}}{2} + C\,}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=2/5 para encontrar a constante C.
Substituindo x=0 e y(0)=2/5 na equação encontrada:
\frac{1}{y(0)} = -\bigl(0 + 0 + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2/5} = -C.
Como \dfrac{1}{2/5} = \dfrac{5}{2}, segue que
\frac{5}{2} = -C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{5}{2}.
Substituindo C na expressão para y:
y = -\frac{1}{\,2x + \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{5}{2}\,}.
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por 2:
y = -\frac{2}{\,x^{2} + 4x -5\,}.

Passo 5

Fatorar o denominador e mostrar a forma final e a relação com as assíntotas verticais.
O polinômio quadratic x^{2}+4x-5 fatoriza como
x^{2}+4x-5=(x+5)(x-1).
Portanto a solução explícita fica
y(x) = -\frac{2}{(x+5)(x-1)}.
Dessa forma já se vê que x=-5 e x=1 são zeros do denominador; por isso são assíntotas verticais da solução (o valor de y tende a infinito quando x se aproxima desses pontos), consistente com a dica do enunciado.

Passo 6

Determinar os pontos críticos e classificar o mínimo local (critério do ponto crítico explicado e aplicado).
Um ponto crítico é onde y'=0 ou onde y' é indefinido. Temos a expressão original
y' = y^{2}(2+x).
Observações úteis:
  • y^{2}\ge 0 para todo y, e no nosso caso y(x) não é zero (o numerador é -2 constante), então y^{2}>0 para todo x onde a solução estiver definida.
  • Portanto o sinal de y' é determinado unicamente pelo fator (2+x).
Resolver y'=0 é equivalente a resolver 2+x=0, isto é
x = -2.
Então x=-2 é o único ponto crítico interior ao intervalo (-5,1).
Para classificar (mínimo ou máximo) usamos o teste de monotonicidade: se a derivada passa de negativa para positiva no ponto crítico, é mínimo; se passa de positiva para negativa, é máximo.
Verificamos o sinal de y':
  • Para x<-2 temos 2+x<0 e, como y^{2}>0, então y'<0: a função está decrescendo em (-5,-2).
  • Para x>-2 (até 1) temos 2+x>0, logo y'>0: a função está crescendo em (-2,1).
Portanto em x=-2 a função passa de decrescente para crescente: isso caracteriza um mínimo local em x=-2.

Passo 7

Calcular o valor mínimo y(-2) explicitamente (passo a passo das substituições).
Substituindo x=-2 em y(x) = -\dfrac{2}{(x+5)(x-1)}:
y(-2) = -\frac{2}{(-2+5)(-2-1)} = -\frac{2}{(3)(-3)} = -\frac{2}{-9} = \frac{2}{9}.
Portanto o mínimo local acontece no ponto \bigl(-2,\tfrac{2}{9}\bigr).

Passo 8

Análise do comportamento nas assíntotas e sinal da solução (útil para o esboço).
Vamos estudar os limites quando x se aproxima das bordas do intervalo (-5,1).
  • Quando x\to -5^{+}: o fator x+5 \to 0^{+}, o fator x-1\to -6, então (x+5)(x-1)\to 0^{-}. Assim
y(x) = -\frac{2}{(x+5)(x-1)} \to +\infty.
  • Quando x\to 1^{-}: o fator x-1\to 0^{-}, o fator x+5\to 6, então (x+5)(x-1)\to 0^{-}. Assim
y(x) = -\frac{2}{(x+5)(x-1)} \to +\infty.
Portanto a solução tende a +\infty perto das duas assíntotas verticais do intervalo. Além disso, para um ponto teste (por exemplo x=0) temos
y(0) = -\frac{2}{(0+5)(0-1)} = -\frac{2}{5\cdot(-1)} = \frac{2}{5},
que é positivo; de fato a solução é positiva em todo o intervalo (-5,1) porque o denominador (x+5)(x-1) é negativo para todo x\in(-5,1), e o numerador é -2, daí a razão é positiva.
Resumo do comportamento:
  • y(x)>0 para todo x\in(-5,1).
  • y\to +\infty quando x\to -5^{+} e quando x\to 1^{-}.
  • A função decresce em (-5,-2), atinge mínimo \tfrac{2}{9} em x=-2, e cresce em (-2,1).

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição detalhada para desenho rápido na prova) e observações finais, com uma dica de como desenhar sem calculadora.
Como desenhar o gráfico:
  • Trace as retas verticais x=-5 e x=1 como assíntotas (linhas tracejadas).
  • Em ambos os lados dessas linhas, a curva tende a +\infty.
  • No intervalo (-5,1) a curva está toda acima do eixo x.
  • A curva vem do +\infty quando x\to -5^{+}, desce monotonamente até o ponto \bigl(-2,\tfrac{2}{9}\bigr), e depois sobe monotonamente até +\infty quando x\to 1^{-}.
  • Marque o ponto inicial y(0)=2/5 (ele fica entre o mínimo 2/9 e a assíntota direita).
  • Não há zeros de y no intervalo; a curva não cruza o eixo x.
Dica prática: para esboço rápido calcule 3 pontos chave: valor perto de assíntota direita ou esquerda (ver tendência), o mínimo em x=-2, e o valor em x=0; ligue-os respeitando monotonicidade.

Resposta

y(x) = -\dfrac{2}{(x+5)(x-1)}\n
Mínimo local em x=-2 com valor y(-2)=\dfrac{2}{9}\n
Esboço: assíntotas verticais em x=-5 e x=1; y(x)>0 em (-5,1); decresce em (-5,-2), mínimo \bigl(-2,\tfrac{2}{9}\bigr), cresce em (-2,1); y\to+\infty quando x\to-5^{+} e quando x\to1^{-}.

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