Considerando os métodos para resoluçāo de equações diferenciais de primeira ordem:
Resolva de maneira explícita o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado fornece claramente as seguintes informações (tirei tudo exatamente do enunciado):
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem:
onde
é um parâmetro constante (não foi dada outra informação sobre
, tratarei os casos relevantes).
- A condição inicial:
O que o problema pede: encontrar a solução explícita
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Escolha do método e observações iniciais (aulas rápidas, pouquinho de teoria e empatia):
- Aqui podemos tentar separar variáveis porque a equação tem a forma
que pode ser rearranjada para colocar termos em com e termos em com . Separação de variáveis consiste exatamente nisso: escrever a equação como e integrar ambos os lados. - Atenção importante: a fórmula escrita tem denominador
. Para manipular a equação multiplicando por precisamos que no ponto/intervalo considerado. Em particular, no ponto inicial temos , então o denominador no ponto inicial vale . Isso significa: - se
a equação está bem definida no ponto inicial e podemos aplicar o teorema padrão (continuidade/Lipschitz) em um entorno adequado; - se
a expressão do lado direito é indefinida no ponto inicial e o problema de valor inicial fica singular — veremos esse caso à parte.
- se
- Vou aplicar separação de variáveis assumindo inicialmente que
na vizinhança do ponto inicial.
Passo 3
Separação de variáveis e integração (passo-a-passo, como fazer na prova):
Partimos de
Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Agora integramos ambos os lados (mostrar o que se está usando: integrais indefinidas e constante de integração):
Calcule termo a termo:
-
porque é constante em relação a . -
(pois , multiplicando por dá ). -
.
Portanto, após integrar obtemos (incluindo a constante de integração
):
Podemos reorganizar para escrever em forma implícita:
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar
e obter a solução implícita:
Usando , substituímos
e
na expressão implícita:
Usando
Logo a solução implícita específica passa a ser
Rearranjando para obter uma equação quadrática em
:
Passo 5
Resolver explicitamente para
usando a fórmula quadrática (aula rápida sobre a fórmula):
Para uma equação quadrática a solução é
Para uma equação quadrática
Aqui
,
,
. O discriminante é
Portanto as soluções explícitas são
Passo 6
Escolha do ramo que satisfaz a condição inicial e casos conforme
Para que
seja satisfeito precisamos escolher o sinal
que torne
. Isso dá:
- se
: escolher o sinal (mais), pois . - se
: escolher o sinal (menos), pois . - se
: a expressão torna-se . Ambas as escolhas dão ; entretanto, quando a equação original tem denominador que é zero no ponto inicial, logo o problema inicial é singular e a existência/uniqueness padrão falha — por isso o caso é especial (ver observação abaixo).
Assim, para
a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
onde
(ou, equivalentemente, escolher o sinal (\pm] descrito acima).]
Passo 7
Domínio de validade e observações finais (o que olhar na prova para justificar intervalo de existência):
- A expressão explícita requer
para que a raiz seja real. Isso é
Como
satisfaz essa desigualdade (porque para
o lado esquerdo vale
e a raiz exista), existe um intervalo em torno de
onde a solução real existe. Em particular, a solução é válida enquanto a expressão dentro da raiz for não negativa.
- Além disso, é preciso evitar pontos onde
, porque nesses pontos a equação original fica indefinida. Substituindo na relação implícita obtém-se que tal ocorrência corresponde exatamente aos pontos em que . Portanto o ponto limite onde zera coincide com o ponto onde o discriminante vira zero; a solução se mantém válida até (mas não atravessa) esse ponto. - Caso especial
: a equação original é e no ponto inicial o lado direito fica indefinido. A integração formal levou a , ou seja
mas aqui a questão da validade do PVI e da unicidade é delicada (o teorema padrão não se aplica). Em provas, se
é melhor comentar que o problema é singular e fornecer as duas ramificações obtidas por integração mostrando que ambas passam por
.
Força aí — já temos a solução explícita e as condições de existência/uniquidade que você precisa lembrar na prova.