Considerando os métodos para resoluçāo de equações diferenciais de primeira ordem:
[1,5] Resolva de maneira explícita o seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime}=\frac{2 x}{\mathrm{P}+2 y} ; \quad y(2)=0 .

Passo 1

O enunciado fornece claramente as seguintes informações (tirei tudo exatamente do enunciado):
  • A equação diferencial ordinária de primeira ordem:
y'=\frac{2x}{P+2y},
onde P é um parâmetro constante (não foi dada outra informação sobre P, tratarei os casos relevantes).
  • A condição inicial:
y(2)=0.
O que o problema pede: encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Escolha do método e observações iniciais (aulas rápidas, pouquinho de teoria e empatia):
  • Aqui podemos tentar separar variáveis porque a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) que pode ser rearranjada para colocar termos em y com dy e termos em x com dx. Separação de variáveis consiste exatamente nisso: escrever a equação como g(y)\,dy = h(x)\,dx e integrar ambos os lados.
  • Atenção importante: a fórmula escrita tem denominador P+2y. Para manipular a equação multiplicando por P+2y precisamos que P+2y\neq0 no ponto/intervalo considerado. Em particular, no ponto inicial x=2 temos y(2)=0, então o denominador no ponto inicial vale P+2\cdot 0=P. Isso significa:
    • se P\neq0 a equação está bem definida no ponto inicial e podemos aplicar o teorema padrão (continuidade/Lipschitz) em um entorno adequado;
    • se P=0 a expressão do lado direito é indefinida no ponto inicial e o problema de valor inicial fica singular — veremos esse caso à parte.
  • Vou aplicar separação de variáveis assumindo inicialmente que P+2y\neq0 na vizinhança do ponto inicial.

Passo 3

Separação de variáveis e integração (passo-a-passo, como fazer na prova):
Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{P+2y}.
Multiplicando ambos os lados por P+2y e por dx obtemos
(P+2y)\,dy = 2x\,dx.
Agora integramos ambos os lados (mostrar o que se está usando: integrais indefinidas e constante de integração):
\int (P+2y)\,dy = \int 2x\,dx.
Calcule termo a termo:
  • \displaystyle \int P\,dy = P y porque P é constante em relação a y.
  • \displaystyle \int 2y\,dy = y^2 (pois \int y\,dy = y^2/2, multiplicando por 2 y^2).
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^2.
Portanto, após integrar obtemos (incluindo a constante de integração C):
P y + y^2 = x^2 + C.
Podemos reorganizar para escrever em forma implícita:
y^2 + P y - x^2 = C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar C e obter a solução implícita:
Usando y(2)=0, substituímos x=2 e y=0 na expressão implícita:
0^2 + P\cdot 0 - 2^2 = C \quad\Rightarrow\quad C = -4.
Logo a solução implícita específica passa a ser
y^2 + P y - x^2 = -4.
Rearranjando para obter uma equação quadrática em y:
y^2 + P y + (4 - x^2) = 0.

Passo 5

Resolver explicitamente para y usando a fórmula quadrática (aula rápida sobre a fórmula):
Para uma equação quadrática \,a y^2 + b y + c = 0 a solução é
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=P, c=4-x^2. O discriminante é
\Delta = b^2-4ac = P^2 -4(1)(4-x^2)=4x^2 + P^2 -16.
Portanto as soluções explícitas são
y(x)=\frac{-P\pm\sqrt{4x^2 + P^2 -16}}{2}.

Passo 6

Escolha do ramo que satisfaz a condição inicial e casos conforme P\) (passos para a prova): - Avaliando a expressão em \(x=2\) (onde \(\sqrt{4x^2+P^2-16}=\sqrt{16+P^2-16}=\sqrt{P^2}=|P|\)), obtemos \[y(2)=\frac{-P\pm|P|}{2}.
Para que y(2)=0 seja satisfeito precisamos escolher o sinal \pm que torne (-P\pm|P|)/2=0. Isso dá:
  • se P>0: escolher o sinal + (mais), pois (-P+|P|)/2=(-P+P)/2=0.
  • se P<0: escolher o sinal - (menos), pois (-P-|P|)/2=(-P-(-P))/2=0.
  • se P=0: a expressão torna-se y(x)=\pm\sqrt{x^2-4}. Ambas as escolhas dão y(2)=0; entretanto, quando P=0 a equação original tem denominador P+2y=2y que é zero no ponto inicial, logo o problema inicial é singular e a existência/uniqueness padrão falha — por isso o caso P=0 é especial (ver observação abaixo).
Assim, para P\neq 0 a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{-P + s\,\sqrt{4x^2 + P^2 -16}}{2},
onde
s=\begin{cases} +1, & P>0,\\[4pt] -1, & P<0. \end{cases}
(ou, equivalentemente, escolher o sinal (\pm] descrito acima).]

Passo 7

Domínio de validade e observações finais (o que olhar na prova para justificar intervalo de existência):
  • A expressão explícita requer \Delta=4x^2 + P^2 -16 \ge 0 para que a raiz seja real. Isso é
4x^2 + P^2 -16 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \ge 4 - \frac{P^2}{4}.
Como x=2 satisfaz essa desigualdade (porque para x=2 o lado esquerdo vale 4 e a raiz exista), existe um intervalo em torno de x=2 onde a solução real existe. Em particular, a solução é válida enquanto a expressão dentro da raiz for não negativa.
  • Além disso, é preciso evitar pontos onde P+2y=0, porque nesses pontos a equação original fica indefinida. Substituindo y=-P/2 na relação implícita obtém-se que tal ocorrência corresponde exatamente aos pontos em que 4x^2 + P^2 -16 =0. Portanto o ponto limite onde P+2y zera coincide com o ponto onde o discriminante vira zero; a solução se mantém válida até (mas não atravessa) esse ponto.
  • Caso especial P=0: a equação original é y'=\dfrac{2x}{2y}=\dfrac{x}{y} e no ponto inicial y(2)=0 o lado direito fica indefinido. A integração formal levou a y^2 = x^2 -4, ou seja
y(x)=\pm\sqrt{x^2-4},
mas aqui a questão da validade do PVI e da unicidade é delicada (o teorema padrão não se aplica). Em provas, se P=0 é melhor comentar que o problema é singular e fornecer as duas ramificações obtidas por integração mostrando que ambas passam por (2,0).
Força aí — já temos a solução explícita e as condições de existência/uniquidade que você precisa lembrar na prova.

Resposta

y(x)=\frac{-P+\sqrt{4x^2+P^2-16}}{2}\quad\text{se }P>0,
y(x)=\frac{-P-\sqrt{4x^2+P^2-16}}{2}\quad\text{se }P<0,
y(x)=\pm\sqrt{x^2-4}\quad\text{se }P=0\,.

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