Em relação a equações diferenciais de segunda ordem:
(a) [1.25] Dada a seguinte equação diferencial com coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+c y=0
Determine o valor de e para que a equaçāo caracteristica associada pocsua raízes reais iguais, e logo escreva a solução geral.
(b) [1,25] Para que valores de c, a equação caracteristica do item (a) possui raízes reais distintas? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10y' + c\,y = 0,
onde c é um parâmetro real. As perguntas são:
  • (a) Determinar o valor de c para que a equação característica associada possua raízes reais iguais (ou seja, uma raiz dupla) e, em seguida, escrever a solução geral da EDO nesse caso.
  • (b) Para quais valores de c a equação característica do item (a) possui raízes reais distintas? Justificar.
As informações relevantes dadas são exatamente a equação acima e o parâmetro c (nenhum outro dado numérico).

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y = e^{r x}. Isso leva ao polinômio quadrático em r:
r^{2} - 10r + c = 0.
Aqui r é a variável do polinômio; os coeficientes são 1 (de r^2), -10 (de r) e c (termo constante). Para entender o tipo de raízes desse polinômio usamos o discriminante.

Passo 3

O discriminante \Delta de uma equação quadrática ar^{2}+br+c=0 é dado por \Delta=b^{2}-4ac. No nosso caso a=1, b=-10, c=c, portanto
\Delta = (-10)^{2} - 4\cdot 1 \cdot c = 100 - 4c.
  • Se \Delta>0 as raízes são reais e distintas.
  • Se \Delta=0 há uma raiz real dupla (raízes iguais).
  • Se \Delta<0 as raízes são complexas conjugadas.
Para o caso de raízes reais iguais exigimos \Delta=0. Assim:
100 - 4c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 25.

Passo 4

Quando c=25 a equação característica fica
r^{2} - 10r + 25 = 0.
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Note que essa é (r-5)^{2}=0, logo a raiz dupla é
r = 5.

Passo 5

Explicar por que, no caso de raiz dupla r, a solução geral é da forma y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}, e verificar aqui com r=5.
Teoria curta e prática: para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1},r_{2} então as soluções fundamentais são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}. Se há uma raiz dupla r (multiplicidade 2), as soluções fundamentais são e^{r x} e x e^{r x}. Para convencer-se, verifica-se diretamente que y_{1}=e^{rx} e y_{2}=x e^{rx} satisfazem a EDO quando r é raiz dupla.
Verificação direta (mostrar passo a passo para r=5, mas válida para qualquer raiz dupla r).
Tome y=x e^{rx}. Calcule derivadas:
y = x e^{rx},
y' = e^{rx} + r x e^{rx} = (1 + r x)e^{rx},
y'' = r e^{rx} + r(1 + r x)e^{rx} = \big(2r + r^{2}x\big)e^{rx}.
Substituindo em y'' - 10y' + c y e lembrando que c foi escolhido tal que r satisfaça r^{2}-10r+c=0, obtemos
y'' - 10y' + c y = e^{rx}\big[x(r^{2}-10r+c) + (2r-10)\big].
Para uma raiz dupla r do polinômio r^{2}-10r+c vale simultaneamente
r^{2}-10r+c=0 \quad\text{e}\quad \frac{d}{dr}\big(r^{2}-10r+c\big)=2r-10=0,
logo ambos os termos dentro dos colchetes são zero e a combinação vale zero, mostrando que y_{2}=x e^{rx} é solução independente de y_{1}=e^{rx}. No nosso caso r=5 e c=25, portanto a solução geral é
y(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{5x},
com constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.

Passo 6

Agora respondendo (b): pedir quando a equação característica possui raízes reais distintas é equivalente a pedir quando \Delta>0. Usamos o discriminante já calculado:
\Delta = 100 - 4c > 0 \quad\Longrightarrow\quad 100 > 4c \quad\Longrightarrow\quad c < 25.
Portanto, para todo c<25 o polinômio r^{2}-10r+c tem duas raízes reais distintas. (Complemento útil: se c=25 há raiz dupla; se c>25 as raízes são complexas conjugadas.)

Resposta

(a) c=25. Solução geral: \;y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{5x}.
(b) A equação característica possui raízes reais distintas para \;c<25.

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