Em relação a equações diferenciais de segunda ordem:
(a) [1.25] Dada a seguinte equação diferencial com coeficientes constantes:
Determine o valor de e para que a equaçāo caracteristica associada pocsua raízes reais iguais, e logo escreva a solução geral.
(b)
Para que valores de c, a equação caracteristica do item (a) possui raízes reais distintas? Justifique sua resposta.
(a) [1.25] Dada a seguinte equação diferencial com coeficientes constantes:
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é um parâmetro real. As perguntas são:
- (a) Determinar o valor de
para que a equação característica associada possua raízes reais iguais (ou seja, uma raiz dupla) e, em seguida, escrever a solução geral da EDO nesse caso. - (b) Para quais valores de
a equação característica do item (a) possui raízes reais distintas? Justificar.
As informações relevantes dadas são exatamente a equação acima e o parâmetro
(nenhum outro dado numérico).
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
. Isso leva ao polinômio quadrático em
:
Aqui
é a variável do polinômio; os coeficientes são
(de
),
(de
) e
(termo constante). Para entender o tipo de raízes desse polinômio usamos o discriminante.
Passo 3
O discriminante
de uma equação quadrática
é dado por
. No nosso caso
,
,
, portanto
- Se
as raízes são reais e distintas. - Se
há uma raiz real dupla (raízes iguais). - Se
as raízes são complexas conjugadas.
Para o caso de raízes reais iguais exigimos
. Assim:
Passo 4
Quando
a equação característica fica
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Note que essa é
, logo a raiz dupla é
Passo 5
Explicar por que, no caso de raiz dupla
, a solução geral é da forma
, e verificar aqui com
.
Teoria curta e prática: para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas
então as soluções fundamentais são
e
. Se há uma raiz dupla
(multiplicidade
), as soluções fundamentais são
e
. Para convencer-se, verifica-se diretamente que
e
satisfazem a EDO quando
é raiz dupla.
Verificação direta (mostrar passo a passo para
, mas válida para qualquer raiz dupla
).
Tome
. Calcule derivadas:
Substituindo em
e lembrando que
foi escolhido tal que
satisfaça
, obtemos
Para uma raiz dupla
do polinômio
vale simultaneamente
logo ambos os termos dentro dos colchetes são zero e a combinação vale zero, mostrando que
é solução independente de
. No nosso caso
e
, portanto a solução geral é
com constantes arbitrárias
.
Passo 6
Agora respondendo (b): pedir quando a equação característica possui raízes reais distintas é equivalente a pedir quando
. Usamos o discriminante já calculado:
Portanto, para todo
o polinômio
tem duas raízes reais distintas. (Complemento útil: se
há raiz dupla; se
as raízes são complexas conjugadas.)
Resposta
(a)
. Solução geral:
(b) A equação característica possui raízes reais distintas para
.