Considerando os métodos para resoluçāo de equações diferenciais de primeira ordem:
[1,0] Encontre a solução geral de:
t y^{\prime}+(t+1) y=t

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
t\,y'(t)+(t+1)\,y(t)=t
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita com um fator t multiplicando y', portanto precisamos considerar t\neq0 (não dá para dividir por t em t=0). Logo a solução será válida em intervalos que não contenham t=0 (por exemplo t>0 e t<0).
  • Queremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem y'+p(t)y=q(t). Dividindo toda a equação por t (lembrando que t\neq0):
y'(t)+\left(1+\frac{1}{t}\right) y(t)=1.
Aqui identificamos
p(t)=1+\frac{1}{t},\qquad q(t)=1.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor). Para uma equação da forma y'+p(t)y=q(t), multiplicando por um fator \mu(t) com a propriedade \mu'(t)=\mu(t)p(t) transforma a equação no formato
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big)=\mu(t)\,q(t),
pois \frac{d}{dt}(\mu y)=\mu y'+\mu' y=\mu y'+\mu p y. A solução segue integrando ambos os lados.
Calculamos o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big)=\exp\!\Big(\int\Big(1+\frac{1}{t}\Big)dt\Big).
Calcule a integral:
\int\Big(1+\frac{1}{t}\Big)dt=t+\ln|t|+C_0.
Tomando C_0=0 (constante absorvida depois), obtemos
\mu(t)=e^{t+\ln|t|}=e^{t}\,|t|.
Para trabalhar de forma prática podemos escolher \mu(t)=t e^{t} em um intervalo onde t>0. Em intervalos com t<0 tem o mesmo procedimento (o sinal pode ser absorvido pela constante de integração), então usaremos \mu(t)=t e^{t} entendendo a validade para t\neq0.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t e^{t}. A esquerda vira derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\,y(t)\big)=t e^{t}\cdot 1 = t e^{t}.
Explicando: porque \mu y' + \mu p y = \frac{d}{dt}(\mu y) e já verificamos \mu'=\mu p.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t e^{t}\,y(t)=\int t e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcular \int t e^{t}\,dt por partes. Seja u=t e dv=e^{t}dt. Então du=dt e v=e^{t}. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv-\int v\,du:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C_1 = e^{t}(t-1)+C_1.
Substituindo na expressão:
t e^{t}\,y(t)=e^{t}(t-1)+C,
em que aqui C já incorpora C_1.

Passo 6

Isolando y(t) dividindo por t e^{t} (lembrando t\neq0):
y(t)=\frac{e^{t}(t-1)+C}{t e^{t}}=\frac{t-1}{t}+\frac{C}{t e^{t}}.
Simplificando \dfrac{t-1}{t}=1-\dfrac{1}{t}, obtemos a forma mais clara da solução geral:
y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{C}{t}e^{-t},
válida para t\neq0, com constante arbitrária C\in\mathbb{R}.

Resposta

y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{C}{t}e^{-t},\qquad t\neq0,\; C\in\mathbb{R}

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