Considerando os métodos para resoluçāo de equações diferenciais de primeira ordem:
Encontre a solução geral de:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita com um fator
multiplicando , portanto precisamos considerar (não dá para dividir por em ). Logo a solução será válida em intervalos que não contenham (por exemplo e ). - Queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
. Dividindo toda a equação por
(lembrando que
):
Aqui identificamos
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor). Para uma equação da forma
, multiplicando por um fator
com a propriedade
transforma a equação no formato
pois
. A solução segue integrando ambos os lados.
Calculamos o fator integrante:
Calcule a integral:
Tomando
(constante absorvida depois), obtemos
Para trabalhar de forma prática podemos escolher
em um intervalo onde
. Em intervalos com
tem o mesmo procedimento (o sinal pode ser absorvido pela constante de integração), então usaremos
entendendo a validade para
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. A esquerda vira derivada do produto:
Explicando: porque
e já verificamos
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calcular
por partes. Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
:
Substituindo na expressão:
em que aqui
já incorpora
.
Passo 6
Isolando
dividindo por
(lembrando
):
Simplificando
, obtemos a forma mais clara da solução geral:
válida para
, com constante arbitrária
.