Considere o seguinte problema de valor inicial:
Para quais condições iniciais
o Teorema de Existência e Unicidade NÂO pode ser aplicado ao PVI? Justifique.
Passo 1
Então, temos um problema de valor inicial (PVI) que é assim:
O que a gente precisa descobrir é para quais valores iniciais
o Teorema de Existência e Unicidade não pode ser aplicado. Basicamente, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para ver quando o teorema não funciona aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo mais claro. A equação dada é
. Dividindo os dois lados por
, temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
O Teorema de Existência e Unicidade geralmente diz que, para garantir que existe uma única solução para um PVI, a função que está na equação diferencial e sua derivada parcial em relação a
precisam ser contínuas num entorno do ponto inicial
.
No nosso caso, temos:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade dessas funções. A função
e sua derivada
são contínuas desde que
.
Se
, temos um problema porque dividir por zero não é definido. Portanto, quando
, tanto
quanto
não são contínuas no ponto inicial.
Passo 5
Assim, se o ponto inicial tiver
, ou seja,
, o teorema não pode ser aplicado. Isso porque não conseguimos garantir que existe uma solução única nesse caso, já que a função e sua derivada parcial não são contínuas nesse ponto.
Resposta
O Teorema de Existência e Unicidade não pode ser aplicado quando
, independentemente do valor de
.