Considere o seguinte problema de valor inicial:
l x y^prime=3 y y(x0)=y0
Para quais condições iniciais (x0, y0) o Teorema de Existência e Unicidade NÂO pode ser aplicado ao PVI? Justifique.

Passo 1

Então, temos um problema de valor inicial (PVI) que é assim:
l x y^prime=3 y y(x0)=y0
O que a gente precisa descobrir é para quais valores iniciais o Teorema de Existência e Unicidade não pode ser aplicado. Basicamente, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para ver quando o teorema não funciona aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo mais claro. A equação dada é y' = 3yx . Dividindo os dois lados por , temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade geralmente diz que, para garantir que existe uma única solução para um PVI, a função que está na equação diferencial e sua derivada parcial em relação a f(x, y) = 3yx precisam ser contínuas num entorno do ponto inicial partial fpartial y = 3x .
No nosso caso, temos:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade dessas funções. A função e sua derivada são contínuas desde que .
Se , temos um problema porque dividir por zero não é definido. Portanto, quando , tanto quanto não são contínuas no ponto inicial.

Passo 5

Assim, se o ponto inicial tiver , ou seja, , o teorema não pode ser aplicado. Isso porque não conseguimos garantir que existe uma solução única nesse caso, já que a função e sua derivada parcial não são contínuas nesse ponto.

Resposta

O Teorema de Existência e Unicidade não pode ser aplicado quando , independentemente do valor de .

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