Decida se cada afirmativa é falsa ou verdadeira. Justifique fazendo os cálculos ou utilizando alguma definição ou resultado estudado.
(a) Se f: R R é diferenciável e tal que f(0)=2, f(1)=3 e f(2)=6, podemos garantir que existem c1, c2 in(0,2) tais que f^prime(c1)=1 e f^prime(c2)=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é diferenciável, ou seja, tem derivada em todos os pontos. Sabemos que:
  • $ f(0) = 2 $
  • $ f(1) = 3 $
  • $ f(2) = 6 $
A pergunta é: conseguimos garantir que existem dois pontos, $ c_1 $ e $ c_2 $, dentro do intervalo aberto $ (0, 2) $ onde a derivada da função nesses pontos seja igual a 1 e 2, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Valor Médio da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo [0,1]. Esse teorema diz que se a função $ f $ é contínua no intervalo fechado f e diferenciável no intervalo aberto $ (a, b) $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (a, b) $ tal que:
[a, b]
Aplicando isso para (a, b) :
c
Então, existe um $ c_1 $ em $ (0,1) $ onde $ f’(c_1) = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o TVM no intervalo [1,2]:
f'(c2) = f(2) - f(1)2 - 1 = 6 - 31 = 3
Portanto, existe um $ c_2 $ em $ (1,2) $ onde $ f’(c_2) = 3 $.

Passo 4

A questão pede para garantir que existem $ c_1 $ e $ c_2 $ em $ (0,2) $ tal que $ f’(c_1) = 1 $ e $ f’(c_2) = 2 $. Vimos que:
  • $ f’(c_1) = 1 $ está garantido.
  • $ f’(c_2) = 3 $ está garantido, mas não 2.
Como não conseguimos garantir que há um ponto com derivada igual a 2 apenas com as informações dadas, a afirmação de que existem $ c_1 $ e $ c_2 $ com essas derivadas específicas não é totalmente verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa, já que só podemos garantir a existência de um ponto onde a derivada é 1, mas não há garantia de um ponto onde a derivada é 2.

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