Decida se cada afirmativa é falsa ou verdadeira. Justifique fazendo os cálculos ou utilizando alguma definição ou resultado estudado.
(a) Se
é diferenciável e tal que
e
, podemos garantir que existem
tais que
e
.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é diferenciável, ou seja, tem derivada em todos os pontos. Sabemos que:
- $ f(0) = 2 $
- $ f(1) = 3 $
- $ f(2) = 6 $
A pergunta é: conseguimos garantir que existem dois pontos, $ c_1 $ e $ c_2 $, dentro do intervalo aberto $ (0, 2) $ onde a derivada da função nesses pontos seja igual a 1 e 2, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Valor Médio da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo
. Esse teorema diz que se a função $ f $ é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto $ (a, b) $, então existe pelo menos um ponto $ c $ em $ (a, b) $ tal que:
Aplicando isso para
:
Então, existe um $ c_1 $ em $ (0,1) $ onde $ f’(c_1) = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o TVM no intervalo
:
Portanto, existe um $ c_2 $ em $ (1,2) $ onde $ f’(c_2) = 3 $.
Passo 4
A questão pede para garantir que existem $ c_1 $ e $ c_2 $ em $ (0,2) $ tal que $ f’(c_1) = 1 $ e $ f’(c_2) = 2 $. Vimos que:
- $ f’(c_1) = 1 $ está garantido.
- $ f’(c_2) = 3 $ está garantido, mas não 2.
Como não conseguimos garantir que há um ponto com derivada igual a 2 apenas com as informações dadas, a afirmação de que existem $ c_1 $ e $ c_2 $ com essas derivadas específicas não é totalmente verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa, já que só podemos garantir a existência de um ponto onde a derivada é 1, mas não há garantia de um ponto onde a derivada é 2.