Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
Tens a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é integração por frações parciais, e vamos precisar usar divisão de polinômios e decompor em frações parciais.
Passo 2
Observando que o denominador é
, fazemos divisão de polinômios para simplificar:
Assim, nossa integral vira a soma de
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais de
, escrevemos:
Igualando numeradores:
Passo 4
Substituindo de volta, a integral fica a soma de quatro termos:
Agora usamos as fórmulas conhecidas:
Passo 5
Somando os resultados dos integrais anteriores, chegamos à expressão geral da primitiva da integral.
Resposta
x + 4 \ln|x| + \ln(x^2+4) - \tfrac12 \arctan\bigl(\frac{x}{2}\bigr) + C