(9,0) Calcule as integrais indefinidas:
(2,0) integral x^3+6 x^2+3 x+16x^3+4 x d x

Passo 1

Tens a integral indefinida integral x^3+6x^2+3x+16x^3+4x , dx. O conteúdo principal aqui é integração por frações parciais, e vamos precisar usar divisão de polinômios e decompor em frações parciais.

Passo 2

Observando que o denominador é x(x^2+4), fazemos divisão de polinômios para simplificar:
x^3+6x^2+3x+16x(x^2+4) = 1 + 6x^2 - x + 16x(x^2+4)
Assim, nossa integral vira a soma de integral 1,dx com integral 6x^2 - x + 16x(x^2+4),dx.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais de 6x^2 - x + 16x(x^2+4), escrevemos:
6x^2 - x + 16x(x^2+4) = Ax + Bx+Cx^2+4
Igualando numeradores:
6x^2 - x + 16 = A(x^2+4) + (Bx+C)x,obtemos o sistema A+ B=6, C=-1 e 4A=16. Daí A=4, B=2 e C=-1.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral fica a soma de quatro termos:
integral 1,dx + integral 4x,dx + integral 2xx^2+4,dx - integral 1x^2+4,dx
Agora usamos as fórmulas conhecidas: integral 1,dx = x, integral 4/x,dx = 4ln|x|, integral 2x/(x^2+4),dx = ln(x^2+4) e integral dx/(x^2+4) = tfrac12arctan(x/2).

Passo 5

Somando os resultados dos integrais anteriores, chegamos à expressão geral da primitiva da integral.

Resposta

x + 4 \ln|x| + \ln(x^2+4) - \tfrac12 \arctan\bigl(\frac{x}{2}\bigr) + C

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