Dada f(x, y)=ln (x^2+y^2), qual das expressões abaixo corresponde a fx+fy ?
a) 7x+y
b) 6x+y
c) 2x-y
d) 0
e) 1x+y
f) 13x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir qual das expressões apresentadas corresponde a . Aqui, e são as derivadas parciais da função em relação a e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de fx = 1x^2 + y^2 cdot ddx(x^2 + y^2) = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 em relação a , que chamamos de . Aqui, tratamos como uma constante enquanto derivamos em relação a .
A função é .
A derivada de em relação a é , então usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = 1x^2 + y^2 cdot ddy(x^2 + y^2) = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2 em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Usando o mesmo raciocínio:

Passo 4

Agora que temos fx + fy = 2xx^2 + y^2 + 2yx^2 + y^2 = 2x + 2yx^2 + y^2 = 2(x + y)x^2 + y^2 e , vamos somá-las:

Passo 5

Vamos comparar a expressão que encontramos com as opções fornecidas:
2(x + y)x^2 + y^2
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa expressão. Portanto, a resposta correta não está listada entre as opções fornecidas.

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde a . A expressão correta é .

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