Considere a seguinte problema de valor inicial
l y^prime prime-y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção:
y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial de segunda ordem:
l y'' - y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é descobrir qual par de funções forma um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar soluções que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' - y = 0
Para resolver isso, a gente vai usar o método dos coeficientes constantes. A gente assume que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Então, substituindo na equação:
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $:
r^2 e^rt - e^rt = 0 e^rt (r^2 - 1) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 1 = 0 Rightarrow r^2 = 1 Rightarrow r = pm 1
Então, temos duas raízes reais e distintas: $ r_1 = 1 $ e $ r_2 = -1 $.

Passo 5

Com essas raízes, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t y(t) = C1 e^t + C2 e^-t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
C1
Segunda condição: $ y’(0) = 0 $
Primeiro, derivamos $ y(t) $:
C2
Aplicando $ t = 0 $:
y(0) = 1

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
C1 + C2 = 1 (1) C1 - C2 = 0 (2)
Somando as duas equações:
2C1 = 1 Rightarrow C1 = 12
Substituindo $ C_1 = \frac{1}{2} $ na equação (2):
C1 = 12

Passo 8

Então, a solução específica do problema de valor inicial é:
y(t) = 12 e^t + 12 e^-t

Resposta

O par de soluções $ y_{1}(t)=e^{t} $ e $ y_{2}(t)=e^{-t} $ forma um conjunto fundamental de soluções para o problema.

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