Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção: y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2 t
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial de segunda ordem:
l y'' - y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é descobrir qual par de funções forma um conjunto fundamental de soluções para essa equação. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar soluções que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' - y = 0
Para resolver isso, a gente vai usar o método dos coeficientes constantes. A gente assume que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Então, substituindo na equação:
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por $ e^{rt} $: