Determine o comprimento do arco sobre a curva no intervalo entre a) e b)
y=x^48+14 x^2 ; 2 <= x <= 3

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para calcular o comprimento do arco da curva $ y = \frac{x^{4}}{8} + \frac{1}{4x^{2}} $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = f(x)
Isso significa que vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1 e então integrar tudo isso de $ x = 2 $ a $ x = 3 $.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é:
y
Aplicando as regras de derivação, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
( dydx )^2 = ( x^32 - 12x^3 )^2 = x^64 - 12 + 14x^6
Aqui, usamos a identidade $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Comprimento do arco = integral2^3 raiz1 + x^64 - 12 + 14x^6 , dx = integral2^3 raizx^64 + 12 + 14x^6 , dx
Simplificamos os termos dentro da raiz.

Passo 6

Observamos que a expressão dentro da raiz pode ser reescrita como:
x^64 + 12 + 14x^6 = ( x^32 + 12x^3 )^2
Isso acontece porque:
( x^32 + 12x^3 )^2 = x^64 + 12 + 14x^6

Passo 7

Então, a integral fica mais simples:
Comprimento do arco = integral2^3 raiz( x^32 + 12x^3 )^2 , dx = integral2^3 | x^32 + 12x^3 | , dx
Como $ x $ está no intervalo de 2 a 3, todos os termos são positivos, então podemos remover o valor absoluto:
x

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^32 , dx = 12 cdot x^44 = x^48
integral 12x^3 , dx = 12 cdot ( -12x^2 ) = -14x^2

Passo 9

Juntando as integrais, temos:
Comprimento do arco = [ x^48 - 14x^2 ]2^3
Agora, vamos calcular esse valor substituindo $ x = 3 $ e $ x = 2 $.

Passo 10

Substituindo $ x = 3 $:
x = 3
Substituindo $ x = 2 $:
3^48 - 14 cdot 3^2 = 818 - 136 = 81 cdot 972 - 272 = 729 - 272 = 72772

Passo 11

Finalmente, subtraindo os valores:
Comprimento do arco = 72772 - 3116 = 727 cdot 16 - 31 cdot 7272 cdot 16 = 11632 - 22321152 = 94001152 approx 8,1667

Resposta

O comprimento do arco da curva $ y = \frac{x^{4}}{8} + \frac{1}{4x^{2}} $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 3 $ é aproximadamente 8,17 unidades.

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