Determine o comprimento do arco sobre a curva no intervalo entre a) e b)
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para calcular o comprimento do arco da curva $ y = \frac{x^{4}}{8} + \frac{1}{4x^{2}} $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Isso significa que vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1 e então integrar tudo isso de $ x = 2 $ a $ x = 3 $.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é:
Aplicando as regras de derivação, temos:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Aqui, usamos a identidade $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Simplificamos os termos dentro da raiz.
Passo 6
Observamos que a expressão dentro da raiz pode ser reescrita como:
Isso acontece porque:
Passo 7
Então, a integral fica mais simples:
Como $ x $ está no intervalo de 2 a 3, todos os termos são positivos, então podemos remover o valor absoluto:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Juntando as integrais, temos:
Agora, vamos calcular esse valor substituindo $ x = 3 $ e $ x = 2 $.
Passo 10
Substituindo $ x = 3 $:
Substituindo $ x = 2 $:
Passo 11
Finalmente, subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento do arco da curva $ y = \frac{x^{4}}{8} + \frac{1}{4x^{2}} $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 3 $ é aproximadamente 8,17 unidades.