Considere a seguinte problema de valor inicial
l y^prime prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção:
y1(t)=t^-1 e y2(t)=e^-t
y1(t)=t^-1 e y2(t)=t
Nenhuma das demais alternativas
y1(t)=senh t e y2(t)=cosh t
y1(t)=e^t / 2 e y2(t)=e^-t
y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
l y^prime prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
O conteúdo principal aqui são equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar as soluções gerais dessa equação e depois ver quais das opções dadas formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ - y = 0 $. Para isso, usamos o método dos coeficientes constantes. A gente monta a equação característica associada:
y'' - y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - 1 = 0

Passo 3

Com as raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
r = 1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos identificar quais das opções fornecidas correspondem a soluções dessa equação e formam um conjunto fundamental, ou seja, duas soluções linearmente independentes.
Vamos analisar as opções:
  1. $ y_1(t) = t^{-1} $ e $ y_2(t) = e^{-t} $
    • $ t^{-1} $ não é solução da equação $ y’’ - y = 0 $.
  2. $ y_1(t) = t^{-1} $ e $ y_2(t) = t $
    • Nenhuma das funções é solução válida.
  3. Nenhuma das demais alternativas
    • Vamos ver as próximas opções.
  4. $ y_1(t) = \sinh t $ e $ y_2(t) = \cosh t $
    • As funções hiperbólicas $ \sinh t $ e $ \cosh t $ são combinações lineares de $ e^{t} $ e $ e^{-t} $, e ambas satisfazem a equação diferencial. Além disso, são linearmente independentes.
  5. $ y_1(t) = e^{t/2} $ e $ y_2(t) = e^{-t} $
    • $ e^{t/2} $ não satisfaz a equação $ y’’ - y = 0 $.
  6. $ y_1(t) = e^{t} $ e $ y_2(t) = e^{-2t} $
    • $ e^{-2t} $ não satisfaz a equação $ y’’ - y = 0 $.

Resposta

A opção que forma um conjunto fundamental de soluções é:
$ y_{1}(t) = \sinh t \quad $ e $ \quad y_{2}(t) = \cosh t $.

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