Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção: y1(t)=t^-1 e y2(t)=e^-t y1(t)=t^-1 e y2(t)=t
Nenhuma das demais alternativas y1(t)=senh t e y2(t)=cosh t y1(t)=e^t / 2 e y2(t)=e^-t y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2 t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
l y^prime prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
O conteúdo principal aqui são equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar as soluções gerais dessa equação e depois ver quais das opções dadas formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ - y = 0 $. Para isso, usamos o método dos coeficientes constantes. A gente monta a equação característica associada:
y'' - y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - 1 = 0
Passo 3
Com as raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
r = 1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos identificar quais das opções fornecidas correspondem a soluções dessa equação e formam um conjunto fundamental, ou seja, duas soluções linearmente independentes.
Vamos analisar as opções:
$ y_1(t) = t^{-1} $ e $ y_2(t) = e^{-t} $
$ t^{-1} $ não é solução da equação $ y’’ - y = 0 $.
$ y_1(t) = t^{-1} $ e $ y_2(t) = t $
Nenhuma das funções é solução válida.
Nenhuma das demais alternativas
Vamos ver as próximas opções.
$ y_1(t) = \sinh t $ e $ y_2(t) = \cosh t $
As funções hiperbólicas $ \sinh t $ e $ \cosh t $ são combinações lineares de $ e^{t} $ e $ e^{-t} $, e ambas satisfazem a equação diferencial. Além disso, são linearmente independentes.
$ y_1(t) = e^{t/2} $ e $ y_2(t) = e^{-t} $
$ e^{t/2} $ não satisfaz a equação $ y’’ - y = 0 $.
$ y_1(t) = e^{t} $ e $ y_2(t) = e^{-2t} $
$ e^{-2t} $ não satisfaz a equação $ y’’ - y = 0 $.
Resposta
A opção que forma um conjunto fundamental de soluções é:
$ y_{1}(t) = \sinh t \quad $ e $ \quad y_{2}(t) = \cosh t $.