Encontre o conjunto fundamental de soluções para cada equação diferencial e ponto dado.
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=0 t_{0}=0;

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' = 0
e queremos encontrar um conjunto fundamental de soluções em torno de t_{0}=0. Vamos usar o método da equação característica, que é indicado sempre que os coeficientes são constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y\mapsto e^{rt}, de modo que
r^{2} - 2r = 0.
Resolvendo, fatoramos:
r(r - 2) = 0\quad\Longrightarrow\quad r_{1}=0,\;r_{2}=2.

Passo 3

Para cada raiz r_{i} a solução geral tem o termo e^{r_{i}t}. Logo duas soluções linearmente independentes são
y_{1}(t)=e^{0\cdot t}=1,
y_{2}(t)=e^{2t}.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é
\{\,1,\;e^{2t}\}.

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