Exercício 3.20 Considere o espaço vetorial real mathbb{R}^{3}. Dada a matriz
A=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\\ 1 & 5 \\\ 0 & 2\end{array}\right]
verifique se os elementos u, v \in \mathbb{R}^{3}, dados abaixo, pertencem ao subespaço gerado pelas colunas da matriz A.
v=(6,-3,-2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{v}=(6,-3,-2)\in\mathbb{R}^3
pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\\\ 1 & 5\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Esse subespaço é exatamente o conjunto de todas as combinações lineares \alpha\,(4,1,0)+\beta\,(2,5,2).

Passo 2

Para testar a pertença, buscamos escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} 4\alpha+2\beta=6,\\\ \alpha+5\beta=-3,\\\\ 0\alpha+2\beta=-2. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação temos
2\beta=-2\quad\Longrightarrow\quad\beta=-1.
Substituindo em 4\alpha+2\beta=6
4\alpha+2(-1)=6 \quad\Longrightarrow\quad 4\alpha=8 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=2.
Por fim, conferimos na segunda equação:
\alpha+5\beta=2+5(-1)=2-5=-3,
o que coincide com o valor exigido. Como o sistema é compatível, existe combinação linear.

Resposta

O vetor \mathbf{v}=(6,-3,-2) pertence ao subespaço gerado pelas colunas de A. Uma combinação é
\mathbf{v}=2\,(4,1,0)+(-1)\,(2,5,2).

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