Exercício 3.20 Considere o espaço vetorial real
. Dada a matriz
verifique se os elementos
, dados abaixo, pertencem ao subespaço gerado pelas colunas da matriz
.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor
pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz
pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz
Esse subespaço é exatamente o conjunto de todas as combinações lineares
.
Passo 2
Para testar a pertença, buscamos escalares
e
tais que
Isso gera o sistema linear
Passo 3
Da terceira equação temos
Substituindo em
dá
Por fim, conferimos na segunda equação:
o que coincide com o valor exigido. Como o sistema é compatível, existe combinação linear.
Resposta
O vetor
pertence ao subespaço gerado pelas colunas de
. Uma combinação é