Considere o seguinte PVC da corda vibrante: c^{2} u_{x x}=u_{t t, \mathrm{c}=1,0<\mathrm{x}<10, \mathrm{t}>0, \mathrm{u}(0, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{L}, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{x}, 0)=\mathrm{f}(\mathrm{x})
Para f(x)=x / 5 se 0 \leq x \leq 5 e f(x)=(10-x) / 5 se 5 \leq x \leq 10, encontre a expressão que fornece a deslocamento \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) da corda.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e contorno (PVC) para a equação da onda na corda com velocidade [c=1) e comprimento L=10. Vou listar claramente o que nos deram e o que pedem:
EDO/PDE: \;c^{2}u_{x x}=u_{t t} com c=1, logo \;u_{x x}=u_{t t}.
Domínio espacial: 0<x<10.
Condições de contorno homogêneas (ponta fixas): \;u(0,t)=0 e \;u(10,t)=0 para todo t>0.
Condição inicial de deslocamento: \;u(x,0)=f(x) comf(x)=\begin{cases} x/5, & 0\le x\le 5,\\[4pt] (10-x)/5, & 5\le x\le 10, \end{cases}isto é, um triângulo com pico f(5)=1\].
- A condição inicial de velocidade não foi explicitada no enunciado. Em problemas padrão da corda com apenas \(u(x,0) dado, costuma-se tomar velocidade inicial nula:u_{t}(x,0)=0.Vou assumir essa condição (u_{t}(x,0)=0), que é a hipótese típica para esse tipo de exercício.
O objetivo: encontrar uma expressão para u(x,t), o deslocamento da corda para t>0 e 0<x<10.]
Passo 2
Ideia do método (sem ainda resolver): como temos condições de contorno homogêneas em uma barra finita, usamos expansão em série de senos (série de Fourier senoidal) e a solução geral da equação da onda com velocidade nula inicial. Em termos práticos, procuramos uma série do tipo
onde \lambda_n e \omega_n são os autovalores e frequências da corda com u(0,t)=u(L,t)=0. A ideia é: determinar \lambda_n, \omega_n e os coeficientes a_n a partir de f(x).
Agora explico passo a passo cada parte da teoria necessária para aplicar isso.
Passo 3
Autovalores e autovetores para as condições de contorno:
Para uma barra de comprimento L com u(0,t)=u(L,t)=0, os modos espaciais são \sin(\lambda x) com \lambda que satisfaz \sin(\lambda L)=0.
Isso dá \lambda_n = n\pi / L para n=1,2,\dots.
Aqui L=10, então\lambda_n = \frac{n\pi}{10}.
A frequência angular associada, para a equação u_{tt}=c^{2}u_{xx} e c=1, é\omega_n = c\lambda_n = \lambda_n = \frac{n\pi}{10}.
Portanto os modos normais são \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big) oscilando em tempo com \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{10}t\big) e \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}t\big). Como a velocidade inicial é zero, somente o termo com \cos aparece com coeficiente vindo de f(x).
Passo 4
Fórmula geral para coeficientes (explicando a ortogonalidade):
A série de senos que representa a condição inicial éf(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big).
As funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big) são ortogonais no intervalo [0,10]. A fórmula para os coeficientes de uma série de senos éa_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big)\,dx.
Fisicamente, a_n é a amplitude do n-ésimo modo na condição inicial.
Passo 5
Aplicando a fórmula para a_n com f(x) dado (preparando a integral):
Como f(x) é dada por partes, dividimos a integral em 0 a 5 e 5 a 10:a_n=\frac{1}{5}\left(\int_{0}^{5}\frac{x}{5}\sin(kx)\,dx + \int_{5}^{10}\frac{10-x}{5}\sin(kx)\,dx\right),onde para abreviar escrevo k=\tfrac{n\pi}{10}.
Posso tirar o fator 1/5 de cada integrando:a_n=\frac{1}{25}\left(\int_{0}^{5} x\sin(kx)\,dx + \int_{5}^{10} (10-x)\sin(kx)\,dx\right).
Vou calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Cálculo da primeira integral I_1=\displaystyle\int_{0}^{5} x\sin(kx)\,dx por partes:
Use integração por partes: tomar u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
Cálculo da segunda integral I_2=\displaystyle\int_{5}^{10} (10-x)\sin(kx)\,dx por partes:
Tome u=10-x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=-dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
Pela fórmula,I_2 = \Big(-\frac{(10-x)\cos(kx)}{k}\Big)\Big|_{5}^{10} - \int_{5}^{10}\Big(-\frac{\cos(kx)}{k}\Big)(-dx).(faça devagar: o termo \int v\,du gera sinal positivo para \int \frac{\cos}{k}dx, mas a fórmula total resulta no que segue abaixo)
Calculando o termo de fronteira:\Big(-\frac{(10-10)\cos(10k)}{k}\Big) - \Big(-\frac{(10-5)\cos(5k)}{k}\Big) = 0 -\Big(-\frac{5\cos(5k)}{k}\Big) = \frac{5\cos(5k)}{k}.
A integral restante é -\dfrac{1}{k}\int_{5}^{10}\cos(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{\sin(kx)}{k}\Big|_{5}^{10} = -\dfrac{\sin(10k)-\sin(5k)}{k^{2}}.
Somando as duas expressões obtidas em Passo 6 e Passo 7,I_1+I_2 = \Big(-\frac{5\cos(5k)}{k} + \frac{\sin(5k)}{k^{2}}\Big) + \Big(\frac{5\cos(5k)}{k} - \frac{\sin(10k)-\sin(5k)}{k^{2}}\Big).
Os termos com \cos(5k) cancelam. Restam:I_1+I_2 = \frac{\sin(5k)}{k^{2}} - \frac{\sin(10k)-\sin(5k)}{k^{2}} = \frac{2\sin(5k)-\sin(10k)}{k^{2}}.
Lembre que k=\dfrac{n\pi}{10}. Observe que \sin(10k)=\sin(n\pi)=0. PortantoI_1+I_2 = \frac{2\sin(5k)}{k^{2}} = \frac{2\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{k^{2}}.
Observação sobre paridade: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 para n par, e toma valores alternados \pm 1 para n ímpar. Portanto apenas os modos ímpares aparecem na série.
Passo 10
Escreva a solução completa usando os coeficientes:
Com u_{t}(x,0)=0, a solução da equação da onda é (soma sobre modos):u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{10}t\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big),com a_n dado acima.
Podemos reescrever a soma apenas sobre os índices ímpares n=2m-1 (com m=1,2,\dots), usando \sin\!\big(\tfrac{(2m-1)\pi}{2}\big)=(-1)^{m-1}. Assim:u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{m-1}}{(2m-1)^{2}\pi^{2}}\;\cos\!\big(\tfrac{(2m-1)\pi}{10}t\big)\;\sin\!\big(\tfrac{(2m-1)\pi}{10}x\big).
Essa expressão é a forma mais limpa e explícita da evolução temporal da corda com a condição inicial triangular dada.