Considere o seguinte PVC da corda vibrante:
c^{2} u_{x x}=u_{t t, \mathrm{c}=1,0<\mathrm{x}<10, \mathrm{t}>0, \mathrm{u}(0, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{L}, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{x}, 0)=\mathrm{f}(\mathrm{x})
Para f(x)=2 x / 5 se 0 \leq x \leq 2,5 ; f(x)=1 se 2,5 \leq x \leq 7,5; e f(x)=2(10-x) / 5 se 7,5 \leq x \leq 10,
encontre a expressão que fornece a deslocamento \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) da corda.

Passo 1

O problema pede a solução da vibração da corda governada pela equação da onda com velocidade [c=1), comprimento L=10, condições de contorno nulas nas extremidades e deslocamento inicial dado por uma função em partes. Em forma organizada:
\begin{cases} u_{tt}=u_{xx}, & 0<x<10,\; t>0,\\[6pt] u(0,t)=0,\quad u(10,t)=0, & t\ge 0,\\[6pt] u(x,0)=f(x), & 0\le x\le 10,\\[6pt] u_t(x,0)=0, & 0\le x\le 10\\ \text{(assumimos velocidade inicial nula).} \end{cases}
A função inicial (f(x)] é dada por partes:
f(x)= \begin{cases} \dfrac{2x}{5}, & 0\le x\le 2{,}5,\\[6pt] 1, & 2{,}5\le x\le 7{,}5,\\[6pt] \dfrac{2(10-x)}{5}, & 7{,}5\le x\le 10. \end{cases}
O que se pede: encontrar uma expressão para u(x,t), isto é, escrever o deslocamento da corda para t\ge0 e 0\le x\le10.]

Passo 2

Escolha de método e ideia geral (explicação didática curta e intuitiva):
  • Como as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(10,t)=0, é natural expandir a solução em série de senos (funções próprias da condição de Dirichlet).
  • Para a equação da onda com velocidade c=1 e condição u_t(x,0)=0, a solução por separação de variáveis leva a uma série do tipo
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\big(\omega_n t\big)\sin\!\big(\lambda_n x\big),
onde \lambda_n=\dfrac{n\pi}{L} e \omega_n=c\lambda_n=\dfrac{n\pi}{L}. Aqui L=10, logo
\lambda_n=\dfrac{n\pi}{10},\qquad \omega_n=\dfrac{n\pi}{10}.
  • Os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x). Agora vou explicar como obter esses a_n usando a ortogonalidade dos senos.

Passo 3

Fórmula dos coeficientes (mini-aula sobre ortogonalidade):
  • As funções \sin\!\big(\lambda_n x\big)=\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) são ortogonais em [0,L]:
\int_0^{L}\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\sin\!\big(\tfrac{m\pi x}{L}\big)\,dx=0\quad (n\ne m),
e
\int_0^{L}\sin^2\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx=\dfrac{L}{2}.
  • Projetando f(x) sobre essas funções obtemos
a_n=\dfrac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx.
  • Substituindo L=10 temos a fórmula prática que usaremos:
\boxed{\,a_n=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int_0^{10} f(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big)\,dx \,}
Explico: o fator \tfrac{2}{L}=\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5} vem da normalização da base seno.

Passo 4

Cálculo explícito de a_n (dividindo a integral nas três partes de f):
Defina k=\dfrac{n\pi}{10}. Então
a_n=\dfrac{1}{5}\Bigg[\int_{0}^{2{,}5}\dfrac{2x}{5}\sin(kx)\,dx+\int_{2{,}5}^{7{,}5}1\cdot\sin(kx)\,dx+\int_{7{,}5}^{10}\dfrac{2(10-x)}{5}\sin(kx)\,dx\Bigg].
Para simplificar, chamo as três integrais de I_1,I_2,I_3 respectivamente e calculo cada uma.
Cálculo de \displaystyle\int x\sin(kx)\,dx (fórmula de primitiva que vamos usar):
\int x\sin(kx)\,dx=-\dfrac{x\cos(kx)}{k}+\dfrac{\sin(kx)}{k^2}+C.
Agora:
  • Para I_1=\displaystyle\int_{0}^{2{,}5} \dfrac{2x}{5}\sin(kx)\,dx=\dfrac{2}{5}\int_{0}^{2{,}5} x\sin(kx)\,dx. Usando a primitiva,
I_1=\dfrac{2}{5}\Big[-\dfrac{x\cos(kx)}{k}+\dfrac{\sin(kx)}{k^2}\Big]_{0}^{2{,}5} =\dfrac{2}{5}\Big(-\dfrac{2{,}5\cos(2{,}5k)}{k}+\dfrac{\sin(2{,}5k)}{k^2}\Big).
  • Para I_2=\displaystyle\int_{2{,}5}^{7{,}5}\sin(kx)\,dx,
I_2=\Big[-\dfrac{\cos(kx)}{k}\Big]_{2{,}5}^{7{,}5}=\dfrac{-\cos(7{,}5k)+\cos(2{,}5k)}{k}.
  • Para I_3=\displaystyle\int_{7{,}5}^{10}\dfrac{2(10-x)}{5}\sin(kx)\,dx=\dfrac{2}{5}\int_{7{,}5}^{10}(10-x)\sin(kx)\,dx.
    Usamos \int (10-x)\sin(kx)\,dx=10\int\sin(kx)\,dx-\int x\sin(kx)\,dx. Calculando e avaliando,
I_3=\dfrac{2}{5}\Big[2{,}5\,\dfrac{\cos(7{,}5k)}{k}+\dfrac{\sin(7{,}5k)}{k^2}\Big],
pois ao avaliar os termos em x=10 aparecem \sin(10k)=\sin(n\pi)=0 e termos em x=10 que multiplicam \cos(10k) se cancelam.
Agora some I_1+I_2+I_3. Antes de somar, observe valores trigonométricos em razão de k=\dfrac{n\pi}{10}:
2{,}5k=\dfrac{n\pi}{4},\qquad 7{,}5k=\dfrac{3n\pi}{4},\qquad 10k=n\pi.
Substituindo e usando as expressões para I_1,I_2,I_3 e simplificando cuidadosamente (mostro a parte essencial da simplificação):
  • Os termos proporcionais a \dfrac{1}{k} se cancelam completamente entre I_1,I_2,I_3.
  • Ficam apenas termos em \dfrac{1}{k^2} combinados, que resultam em
\int_0^{10} f(x)\sin(kx)\,dx=\dfrac{2}{5k^2}\big(\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})\big).
Portanto, lembrando do fator \dfrac{1}{5} em a_n,
a_n=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5k^2}\big(\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})\big) =\dfrac{2}{25k^2}\big(\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})\big).

Passo 5

Simplificação final dos coeficientes a_n (identidade trigonométrica e substituição de k):
  • Substituindo k=\dfrac{n\pi}{10} temos k^2=\dfrac{n^2\pi^2}{100} e \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{100}{n^2\pi^2}. Assim
a_n=\dfrac{2}{25}\cdot \dfrac{100}{n^2\pi^2}\big(\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})\big) =\dfrac{8}{n^2\pi^2}\big(\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})\big).
  • Aplicando a identidade \sin A+\sin B=2\sin\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big) com A=\tfrac{n\pi}{4} e B=\tfrac{3n\pi}{4}, obtemos
\sin(\tfrac{n\pi}{4})+\sin(\tfrac{3n\pi}{4})=2\sin(\tfrac{n\pi}{2})\cos(\tfrac{n\pi}{4}).
  • Assim a forma mais compacta é
\boxed{\,a_n=\dfrac{16}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{4}\big)\,.}
Comentário útil: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) vale 0,\pm1 dependendo de n\pmod 4, logo a_n=0 para todo n par. Só termos com n ímpar aparecem na série — isso facilita muito se você quiser escrever os primeiros termos explicitamente.

Passo 6

Escrevendo a solução u(x,t) final:
  • A solução geral encontrada é a série de modos normais com frequências \omega_n=\tfrac{n\pi}{10}:
\boxed{\,u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{10}t\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big)\,}
com a_n dado pela expressão do passo anterior:
\boxed{\,a_n=\dfrac{16}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{4}\big)\,.}
Se quiser escrever de modo ainda mais explícito para ver quais n contribuem: para n par, a_n=0; para n ímpar o sinal e valor dependem de n\pmod 8 via \cos(\tfrac{n\pi}{4}) e \sin(\tfrac{n\pi}{2}), mas a forma acima já é bastante prática para usar em prova ou para calcular os primeiros termos.

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{16}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{4}\big)\right)\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{10}t\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{10}x\big)

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