Considere o seguinte PVC da corda vibrante: c^{2} u_{x x}=u_{t t, \mathrm{c}=1,0<\mathrm{x}<10, \mathrm{t}>0, \mathrm{u}(0, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{L}, \mathrm{t})=0, \mathrm{u}(\mathrm{x}, 0)=\mathrm{f}(\mathrm{x})
Para f(x)=2 x / 5 se 0 \leq x \leq 2,5 ; f(x)=1 se 2,5 \leq x \leq 7,5; e f(x)=2(10-x) / 5 se 7,5 \leq x \leq 10,
encontre a expressão que fornece a deslocamento \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) da corda.
Passo 1
O problema pede a solução da vibração da corda governada pela equação da onda com velocidade [c=1), comprimento L=10, condições de contorno nulas nas extremidades e deslocamento inicial dado por uma função em partes. Em forma organizada:
A função inicial (f(x)] é dada por partes: f(x)= \begin{cases} \dfrac{2x}{5}, & 0\le x\le 2{,}5,\\[6pt] 1, & 2{,}5\le x\le 7{,}5,\\[6pt] \dfrac{2(10-x)}{5}, & 7{,}5\le x\le 10. \end{cases}
O que se pede: encontrar uma expressão para u(x,t), isto é, escrever o deslocamento da corda para t\ge0 e 0\le x\le10.]
Passo 2
Escolha de método e ideia geral (explicação didática curta e intuitiva):
Como as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(10,t)=0, é natural expandir a solução em série de senos (funções próprias da condição de Dirichlet).
Para a equação da onda com velocidade c=1 e condição u_t(x,0)=0, a solução por separação de variáveis leva a uma série do tipo
Para I_3=\displaystyle\int_{7{,}5}^{10}\dfrac{2(10-x)}{5}\sin(kx)\,dx=\dfrac{2}{5}\int_{7{,}5}^{10}(10-x)\sin(kx)\,dx.
Usamos \int (10-x)\sin(kx)\,dx=10\int\sin(kx)\,dx-\int x\sin(kx)\,dx. Calculando e avaliando,
Comentário útil: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) vale 0,\pm1 dependendo de n\pmod 4, logo a_n=0 para todo n par. Só termos com n ímpar aparecem na série — isso facilita muito se você quiser escrever os primeiros termos explicitamente.
Passo 6
Escrevendo a solução u(x,t) final:
A solução geral encontrada é a série de modos normais com frequências \omega_n=\tfrac{n\pi}{10}:
Se quiser escrever de modo ainda mais explícito para ver quais n contribuem: para n par, a_n=0; para n ímpar o sinal e valor dependem de n\pmod 8 via \cos(\tfrac{n\pi}{4}) e \sin(\tfrac{n\pi}{2}), mas a forma acima já é bastante prática para usar em prova ou para calcular os primeiros termos.