(07) Considere o seguinte PVC da condução de calor numa barra:
Encontre a expressão que fornece a temperatura \mathbf{u}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) da barra.
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valores de contorno (PVC) para a equação do calor numa barra de comprimento
:
com as condições de contorno e inicial:
O que nos pedem: encontrar uma expressão explícita para a temperatura
válida para
e
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- coeficiente de difusão térmica:
(constante positiva); - condição de contorno em
: (valor de Dirichlet); - condição de contorno em
: (Neumann); - condição inicial: temperatura inicial constante
.
Passo 2
Vamos usar o método de separação de variáveis. A ideia é procurar soluções do tipo
Substituindo na equação
obtemos
Dividindo por
(assumindo
e
não nulas) temos
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante, que chamamos de
. Assim obtemos os dois ODEs:
Escolhemos o sinal
para obter autovalores
com soluções trigonométricas (as não-triviais que nos interessam).
Passo 3
Estudamos o problema de autovalores para
com as condições de contorno:
Consideramos as três possibilidades para
:
-
: então e . A condição dá . A condição força . Isso dá só a solução trivial , que não serve. -
: escrevendo produzem-se exponenciais e, aplicando as condições, obtém-se novamente apenas a solução trivial (detalhe omitido porque não gera modos úteis). -
: escrevemos com . A solução geral é
Aplicando
dá
, então
. A condição
dá
Queremos
para ter solução não trivial e
, logo precisamos de
As soluções são
, com
. Portanto
Os autovetores (modos espaciais) correspondentes são
Esses modos satisfazem as condições
e
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação temporal para cada modo:
Assim cada modo dá uma solução
Pela linearidade, a solução geral é a soma sobre todos os modos:
onde troquei a constante
por
para enfatizar que esses coeficientes serão fixados pela condição inicial.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para calcular
. Temos
Para encontrar
usamos a ortogonalidade dos senos. A identidade útil é
onde
é o delta de Kronecker (igual a
se
e
caso contrário). Multiplicando a expansão inicial por
e integrando de
a
obtemos
Logo
Vamos calcular essa integral explicitamente. Defina
. Então
Mas
, e
. Portanto
Substituindo em
:
Logo todos os coeficientes são
Passo 6
Substituímos
,
e
na série geral. Com
temos
e
Portanto a solução final é