Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(e) Se a função
representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?
(e) Se a função
Passo 1
Temos o PVI
com condições iniciais
e
. Trata-se de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento), ou seja, uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevendo a equação característica
, obtemos raízes complexas
. A solução geral é
Impondo
dá
, e
com
leva a
. Logo
Dessa forma a amplitude é 2, a frequência angular é
e o período vale
.
Passo 3
Em termos físicos de massa-mola, isso significa que a massa descreve um movimento harmônico simples sem amortecimento: o deslocamento varia de forma puramente periódica entre -2 e 2, com período
, e nunca se atenua (isto é, oscila indefinidamente).
Resposta
O deslocamento oscila sinusoidalmente com amplitude 2 e período 4π, de modo periódico e sem amortecimento, variando indefinidamente entre −2 e 2.