Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
(e) Se a função u(t) representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?

Passo 1

Temos o PVI
u'' + tfrac14 u = 0,
com condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=-1. Trata-se de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento), ou seja, uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevendo a equação característica lambda^2+tfrac14=0, obtemos raízes complexas lambda=pm i/2. A solução geral é
u(t)=Acosl(tfrac12tr)+Bsinl(tfrac12tr)
Impondo u(0)=0 A=0, e u'(t)= -Atfrac12sin(tfrac12t)+Btfrac12cos(tfrac12t) com u'(0)=-1 leva a B=-2. Logo
u(t)=-2sinl(tfrac12tr)
Dessa forma a amplitude é 2, a frequência angular é omega=1/2 e o período vale T=tfrac2piomega=4pi.

Passo 3

Em termos físicos de massa-mola, isso significa que a massa descreve um movimento harmônico simples sem amortecimento: o deslocamento varia de forma puramente periódica entre -2 e 2, com período 4pi, e nunca se atenua (isto é, oscila indefinidamente).

Resposta

O deslocamento oscila sinusoidalmente com amplitude 2 e período 4π, de modo periódico e sem amortecimento, variando indefinidamente entre −2 e 2.

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