Considere o sistema representado pela equação matricial abaixo:
, onde
. Para este, faça o que se pede:
© Aponte a forma geral das soluções do sistema e encontre a solução que satisfaz a seguinte condição inicial
.
© Aponte a forma geral das soluções do sistema e encontre a solução que satisfaz a seguinte condição inicial
Passo 1
Estamos com o sistema
, onde
e
. O objetivo é achar a forma geral da solução de um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes (usamos autovalores e autovetores) e depois aplicar a condição inicial
.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
resolvendo
:
$$
\det
=(2-\lambda)2-1=0\quad\Longrightarrow\quad\lambda2-4\lambda+3=0$$
As raízes são e
.
As raízes são
Passo 3
Para cada autovalor achamos um autovetor não nulo:
- Para
, dá
$$
Passo 4
A partir daí a solução geral do sistema é combinação linear das soluções geométricas:
onde
e
são constantes a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Aplicamos
. Isso gera o sistema:
Somando as equações obtemos
e assim
.
Passo 6
Substituindo na forma geral, a solução que satisfaz
é
Resposta
$$Y(t)=-\frac{3}{2}e{3t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+\frac{3}{2}e{t}
.
$$