Considere o sistema representado pela equação matricial abaixo: Y^prime= (ll2 & 1 1 & 2) Y, onde Y(t)=binomy1y2. Para este, faça o que se pede:
© Aponte a forma geral das soluções do sistema e encontre a solução que satisfaz a seguinte condição inicial Y(0)=binom0-3.

Passo 1

Estamos com o sistema Y'=A,Y, onde A=2&11&2 e Y(t)=y1(t)y2(t). O objetivo é achar a forma geral da solução de um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes (usamos autovalores e autovetores) e depois aplicar a condição inicial Y(0)=0-3.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo det(A-lambda I)=0:
$$
\det det2-lambda&11&2-lambda=(2-lambda)^2-1=0Longrightarrowlambda^2-4lambda+3=0=(2-\lambda)2-1=0\quad\Longrightarrow\quad\lambda2-4\lambda+3=0$$
As raízes são lambda1=3 e lambda2=1.

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não nulo:
  • Para lambda1=3, (A-3I)v=0
$$
-1&11&-1v=0Rightarrow v1=11v=0\quad\Rightarrow\quad v_1= lambda2=1. (A-I)v=0á
1&11&1v=0Rightarrow v2=1-1v=0\quad\Rightarrow\quad v_2= .$$

Passo 4

A partir daí a solução geral do sistema é combinação linear das soluções geométricas:
Y(t)=C1e^3t11+C2e^t1-1,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Aplicamos Y(0)=C1+C2C1-C2=0-3. Isso gera o sistema:
C1+C2=0,C1-C2=-3
Somando as equações obtemos 2C1=-3Rightarrow C1=-tfrac32 e assim C2=+tfrac32.

Passo 6

Substituindo na forma geral, a solução que satisfaz Y(0)=0-3 é
Y(t)=-tfrac32e^3t11+tfrac32e^t1-1

Resposta

$$Y(t)=-\frac{3}{2}e{3t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+\frac{3}{2}e{t} Y(t)=-32e^3t11+32e^t1-1 .
$$

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