Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(d) Considerando a condição inicial
e
, encontre a solução particular que a satisfaz.
(d) Considerando a condição inicial
Passo 1
A questão pede para resolver o PVI
com
e
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem; vamos transformar em sistema de primeira ordem e usar a equação característica para encontrar a solução.
Passo 2
Definimos variáveis de estado
e
. Assim o PVI vira o sistema:
$$y_1’ = y_2,\
y_2’ = -0{,}5,y_2 - 2,y_1.$$
Passo 3
A equação característica associada à EDO de segunda ordem é
.
Passo 4
Calculamos o discriminante:
. Como
, as raízes são complexas
$$r = \frac{-0{,}5 \pm i\sqrt{7{,}75}}{2} = -\frac14 \pm i,\frac{\sqrt{31}}{4}.
$$
Passo 5
Com raízes
e
, a solução geral é
$$u(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\bigr).
$$
Passo 6
Usando as condições iniciais: em
temos
. Para
usamos
$$u’(t)=\alpha e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) + e^{\alpha t}(-C_1\beta\sin\beta t + C_2\beta\cos\beta t).
$$
Em isso dá
, ou seja
, resultando em
.
Em