Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
(d) Considerando a condição inicial u(0)=1 e u^prime(0)=2, encontre a solução particular que a satisfaz.

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI u'' + 0,5,u' + 2,u = 0 com u(0)=1 e u'(0)=2. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem; vamos transformar em sistema de primeira ordem e usar a equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

Definimos variáveis de estado y1 = u e y2 = u'. Assim o PVI vira o sistema:
$$y_1’ = y_2,\
y_2’ = -0{,}5,y_2 - 2,y_1.$$

Passo 3

A equação característica associada à EDO de segunda ordem é r^2 + 0,5r + 2 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante: De. Como De, as raízes são complexas
$$r = \frac{-0{,}5 \pm i\sqrt{7{,}75}}{2} = -\frac14 \pm i,\frac{\sqrt{31}}{4}.
$$

Passo 5

Com raízes alpha = -1/4 e beta = raiz31/4, a solução geral é
$$u(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\bigr).
$$

Passo 6

Usando as condições iniciais: em t=0 temos u(0)=C1=1. Para u'(t) usamos
$$u’(t)=\alpha e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) + e^{\alpha t}(-C_1\beta\sin\beta t + C_2\beta\cos\beta t).
$$
Em u'(t)=alpha e^alpha t(C1cosbeta t + C2sinbeta t) + e^alpha t(-C1betasinbeta t + C2betacosbeta t) isso dá t=0, ou seja u'(0)=alpha C1 + beta C2 = 2, resultando em -tfrac14cdot1 + tfracraiz314C2 = 2.

Resposta

u(t) = e^-t/4l[cosl(tfracraiz314tr) + 9raiz31sinl(tfracraiz314tr)r]

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