Considere o sistema representado pela equação matricial abaixo: Y^prime= (ll2 & 1 1 & 2) Y, onde Y(t)=binomy1y2. Para este, faça o que se pede:
(a) Encontre os autovalores e os autovetores da matriz associada;

Passo 1

O sistema é dado por Y'=AY com A=2&11&2. Aqui precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A usando a definição via polinômio característico.

Passo 2

Construímos o polinômio característico de A, isto é det(A-lambda I)=0. Calculando:
detl(2-lambda &11&2-lambdar)=(2-lambda)^2-1=lambda^2-4lambda+3
Resolvendo lambda^2-4lambda+3=0 obtemos lambda=1 e lambda=3.

Passo 3

Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Para lambda=3:
2-3&11&2-3binomxy=-1&11&-1binomxy=0
-x+y=0 ou y=x, então um autovetor é binom11.
  • Para lambda=1:
2-1&11&2-1binomxy=1&11&1binomxy=0
x+y=0 ou y=-x, então um autovetor é binom1-1.

Resposta

Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=1. Os autovetores associados podem ser escolhidos como v1=binom11 para lambda1=3 e v2=binom1-1 para lambda2=1.

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