Nos Problemas, obtenha a solução geral do sistema dado.
X^prime=(ll-1 & 3 -3 & 5) X

Passo 1

O enunciado pede pra achar a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes dado por
X'=AX, A=-1 & 3-3 & 5
O assunto aqui é autovalores, autovetores e autovetor generalizado quando o autovalor é repetido.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det-1-lambda & 3-3 & 5-lambda =(-1-lambda)(5-lambda)-3cdot(-3)
Fazendo as contas:
(-1-lambda)(5-lambda)+9=lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2,
logo o único autovalor é lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio para lambda=2. Resolvendo
(A-2I)v=0implies-3 & 3-3 & 3xy=0
vem -3x+3y=0 ou seja y=x. Um autovetor é
v=11
Como só apareceu um autovetor, o espaço próprio tem dimensão 1.

Passo 4

Para completar a base precisamos de um autovetor generalizado w que satisfaça
$$
(A-2I)w=v. (A-2I)w=v
-3 & 3-3 & 3w=11, w= w=1/32/3, ,
-3cdottfrac13+3cdottfrac23=1çõ
w= ,
$$
pois .

Passo 5

Com autovetor v e generalizado w montamos a solução geral para caso de Jordan 2×2:
X(t)=C1 e^2tv + C2 e^2tl(tv + wr)
Isso resolve completamente o sistema.

Resposta

X(t)=e^2tl(C111+C2l(t11+1/32/3r)r), C1,C2inR

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