Nos Problemas, obtenha a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede pra achar a solução geral do sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes dado por
O assunto aqui é autovalores, autovetores e autovetor generalizado quando o autovalor é repetido.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
Fazendo as contas:
logo o único autovalor é
de multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Agora achamos o espaço próprio para
. Resolvendo
vem
ou seja
. Um autovetor é
Como só apareceu um autovetor, o espaço próprio tem dimensão 1.
Passo 4
Para completar a base precisamos de um autovetor generalizado
que satisfaça
$$
(A-2I)w=v.
w=
,
$$
pois .
pois
Passo 5
Com autovetor
e generalizado
montamos a solução geral para caso de Jordan 2×2:
Isso resolve completamente o sistema.