Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema

Passo 1

O problema pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz que surge ao reescrever a EDO de segunda ordem u'' + tfrac14 u = 0 como um sistema de primeira ordem. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e polinômio característico para isso.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado x1 = u e x2 = u'. Assim o sistema fica
x1' x2' = A x1 x2,
onde
A = 0 & 1 -tfrac14 & 0

Passo 3

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det-lambda & 1 -tfrac14 & -lambda = lambda^2 + tfrac14 = 0

Passo 4

Resolvendo lambda^2 + tfrac14 =0 obtemos
lambda = pm ; i,tfrac12

Passo 5

Agora, para cada autovalor lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0.
  • Se lambda = i/2, da equação -tfraci2 v1 + v2 = 0 implies v2 = tfraci2 v1, podemos escolher v1=1 e ficar com v^(1) = 1 tfraci2
  • Se lambda = -i/2, similarmente tfraci2 v1 + v2 = 0 implies v2 = -tfraci2 v1, escolhendo v1=1 obtemos v^(2) = 1 -tfraci2

Resposta

Os autovalores são lambda1 = tfraci2 e lambda2 = -tfraci2. Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v^(1) = 1 tfraci2, v^(2) = 1 -tfraci2

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