Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
Passo 1
O problema pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz que surge ao reescrever a EDO de segunda ordem
como um sistema de primeira ordem. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e polinômio característico para isso.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
e
. Assim o sistema fica
onde
Passo 3
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
Passo 4
Resolvendo
obtemos
Passo 5
Agora, para cada autovalor
, resolvemos
.
- Se
, da equação podemos escolher e ficar com - Se
, similarmente escolhendo obtemos
Resposta
Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como