Nos Problemas, determine a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O problema pede a solução geral do sistema linear homogêneo de EDOs de 1ª ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores aplicados a sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes e encontrar seu polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de coeficientes
O polinômio característico é definido por
.
Passo 3
Calculamos
Igualando a zero, temos
cuja solução é
Passo 4
Como os autovalores são complexos conjugados
, haverá solução oscilatória com decaimento/exponenciação. Vamos achar um autovetor para
. Resolvemos
ou seja
Da 1ª equação
vem
. Tomando
, escolhemos o autovetor
Passo 5
Para montar as soluções reais, usamos o fato de que, se
e
, então
tem parte real e imaginária independentes. Aqui
,
,
,
. Calculando, obtemos duas soluções fundamentais reais:
Passo 6
Por fim, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções com constantes arbitrárias
e
:
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias em
.