Nos Problemas, determine a solução geral do sistema dado.
d xd t=5 x+y
d yd t=-2 x+3 y

Passo 1

O problema pede a solução geral do sistema linear homogêneo de EDOs de 1ª ordem com coeficientes constantes:
dxdt=5x+y, dydt=-2x+3y
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores aplicados a sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes e encontrar seu polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de coeficientes
A= 5 & 1 -2 & 3
O polinômio característico é definido por det(A-lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos
det(A-lambda I)= det5-lambda & 1 -2 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)-(-2)cdot1 =lambda^2-8lambda+17
Igualando a zero, temos
lambda^2-8lambda+17=0
cuja solução é
lambda=4pm i

Passo 4

Como os autovalores são complexos conjugados 4pm i, haverá solução oscilatória com decaimento/exponenciação. Vamos achar um autovetor para lambda=4+i. Resolvemos
(A-(4+i)I)v=0
ou seja
1-i & 1 -2 & -1-i v1 v2=0
Da 1ª equação (1-i)v1+v2=0 vem v2=-(1-i)v1. Tomando v1=1, escolhemos o autovetor
v=1 -1+i

Passo 5

Para montar as soluções reais, usamos o fato de que, se v=p+iq e lambda=alpha+ibeta, então
v e^lambda t= (p+iq)e^alpha t(cosbeta t+isinbeta t)
tem parte real e imaginária independentes. Aqui p=1-1, q=01, alpha=4, beta=1. Calculando, obtemos duas soluções fundamentais reais:
X1(t)=e^4tcos t -cos t-sin t, X2(t)=e^4tsin t -sin t+cos t

Passo 6

Por fim, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções com constantes arbitrárias C1 e C2:
x(t)y(t) =C1X1(t)+C2X2(t)

Resposta

A solução geral é
x(t)=e^4tl(C1cos t+C2sin tr), y(t)=e^4tl[(C2-C1)cos t-(C1+C2)sin tr],
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias em R.

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