A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de alpha para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de alpha para os quais ocorre uma mudança nestas características.
(b) Y^prime=(cc1 & -alpha 2 alpha & 3) Y

Passo 1

O enunciado pede para, dado o sistema autónomo homogêneo
Y' = 1 & -alpha 2alpha & 3Y
classificar a natureza das soluções a partir dos autovalores da matriz A de coeficientes. Vamos usar conceitos de traço, determinante e discriminante para isso.

Passo 2

Calculamos primeiro o traço e o determinante da matriz
A = 1 & -alpha 2alpha & 3
O traço é
tr(A) = 1 + 3 = 4
e o determinante é
det(A) = 1cdot3 - (-alpha)cdot(2alpha) = 3 + 2alpha^2

Passo 3

Escrevemos a equação característica
lambda^2 - (trA),lambda + det(A) = 0
isto é
lambda^2 - 4lambda + (3 + 2alpha^2) = 0
e o discriminante é
De

Passo 4

Analisamos o sinal de De:
  • Se De 0 então 1 - 2alpha^2 > 0, ou seja |alpha| < 1/raiz2, temos dois autovalores reais e distintos.
  • Se De então |alpha| = 1/raiz2, temos autovalores reais iguais.
  • Se De então |alpha| > 1/raiz2, temos autovalores complexos conjugados.

Passo 5

Para decidir os sinais e tipos completos, note que sempre det(A) = 3 + 2alpha^2 > 0 e tr(A)=4>0. Logo:
  • Para |alpha| < 1/raiz2: dois autovalores reais, distintos e positivos (nó fonte instável).
  • Para |alpha| = 1/raiz2: dois autovalores reais iguais, lambda = 2 (nó degenerado instável).
  • Para |alpha| > 1/raiz2: dois autovalores complexos conjugados com parte real 42=2>0 (espiral instável).
    Não há caso de sinais opostos porque det(A)>0 sempre.

Resposta

Os valores críticos em que muda a natureza dos autovalores são alpha = pm1raiz2. Para |alpha|<1/raiz2 temos nó instável (autovalores reais e distintos positivos); para |alpha|=1/raiz2 nó degenerado instável (reais iguais); para |alpha|>1/raiz2 espiral instável (complexos conjugados com parte real positiva).

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