A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de para os quais ocorre uma mudança nestas características.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para, dado o sistema autónomo homogêneo
classificar a natureza das soluções a partir dos autovalores da matriz A de coeficientes. Vamos usar conceitos de traço, determinante e discriminante para isso.
Passo 2
Calculamos primeiro o traço e o determinante da matriz
Se De 0 então 1 - 2alpha^2 > 0, ou seja |alpha| < 1/raiz2, temos dois autovalores reais e distintos.
Se De então |alpha| = 1/raiz2, temos autovalores reais iguais.
Se De então |alpha| > 1/raiz2, temos autovalores complexos conjugados.
Passo 5
Para decidir os sinais e tipos completos, note que sempre det(A) = 3 + 2alpha^2 > 0 e tr(A)=4>0. Logo:
Para |alpha| < 1/raiz2: dois autovalores reais, distintos e positivos (nó fonte instável).
Para |alpha| = 1/raiz2: dois autovalores reais iguais, lambda = 2 (nó degenerado instável).
Para |alpha| > 1/raiz2: dois autovalores complexos conjugados com parte real 42=2>0 (espiral instável).
Não há caso de sinais opostos porque det(A)>0 sempre.
Resposta
Os valores críticos em que muda a natureza dos autovalores são alpha = pm1raiz2. Para |alpha|<1/raiz2 temos nó instável (autovalores reais e distintos positivos); para |alpha|=1/raiz2 nó degenerado instável (reais iguais); para |alpha|>1/raiz2 espiral instável (complexos conjugados com parte real positiva).