Nos Problemas, determine a solução geral do sistema dado.
d xd t=6 x-y
d yd t=5 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de EDOs lineares
dxdt=6x-y, dydt=5x+2y
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para resolver.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial dotx=Ax, onde
A=6 & -15 & 2
Para resolver, precisamos achar o polinômio característico de A: det (A-lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos
detl(A-lambda Ir)=det6-lambda & -15 & 2-lambda=(6-lambda)(2-lambda)+5=lambda^2-8lambda+17
Resolvendo lambda^2-8lambda+17=0 obtemos
lambda1,2=4pm i.

Passo 4

Para lambda1=4+i encontramos um autovetor resolvendo (A-lambda1 I)v=0. Isso leva à relação
y=(2-i)x,
então podemos escolher
v1=12-i.
Pela teoria, a solução complexa
e^(4+i)tv1
gerará duas soluções reais independentes pela parte real e imaginária.

Passo 5

Extraímos a parte real e imaginária de e^(4+i)tv1 para obter dois vetores fundamentais z1(t) e z2(t). A solução geral do sistema é então
C1
com constantes arbitrárias C2 e .

Resposta

A solução geral é
x(t)=e^4tl(C1cos t+C2sin tr),
y(t)=e^4tl(C1(2cos t+sin t)+C2(2sin t-cos t)r)

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