Nos Problemas, determine a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de EDOs lineares
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para resolver.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
Para resolver, precisamos achar o polinômio característico de
: det
.
Passo 3
Calculamos
Resolvendo
obtemos
.
Passo 4
Para
encontramos um autovetor resolvendo
. Isso leva à relação
,
então podemos escolher
.
Pela teoria, a solução complexa
gerará duas soluções reais independentes pela parte real e imaginária.
então podemos escolher
Pela teoria, a solução complexa
gerará duas soluções reais independentes pela parte real e imaginária.
Passo 5
Extraímos a parte real e imaginária de
para obter dois vetores fundamentais
e
. A solução geral do sistema é então
com constantes arbitrárias e
.
com constantes arbitrárias
Resposta
A solução geral é