Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
Passo 1
Estamos lidando com a EDO de segunda ordem
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é a solução geral de uma equação harmônica simples, e vamos precisar usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo
:
Resolvendo, obtemos
.
Passo 3
Como as raízes são imaginárias conjuntas
, a solução geral da EDO homogênea é uma combinação linear de seno e cosseno com frequência
:
Passo 4
(Opcional) Se quisermos a solução que satisfaz as condições iniciais, note que
e portanto
leva a
. Assim, a solução particular é
.
Resposta
u(t)=C_1\cos\bigl(\tfrac t2\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac t2\bigr)