Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
© Descreva como é uma solução geral deste problema.

Passo 1

Estamos lidando com a EDO de segunda ordem u'' + tfrac14 u = 0 sujeita às condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=-1. O conteúdo aqui é a solução geral de uma equação harmônica simples, e vamos precisar usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo u(t)=e^lambda t:
lambda^2 + 14 = 0
Resolvendo, obtemos lambda = pm tfraci2.

Passo 3

Como as raízes são imaginárias conjuntas pm i/2, a solução geral da EDO homogênea é uma combinação linear de seno e cosseno com frequência omega=tfrac12:
u(t)=C1cosl(tfrac t2r)+C2sinl(tfrac t2r)

Passo 4

(Opcional) Se quisermos a solução que satisfaz as condições iniciais, note que
u(0)=C1=0, nu'(t)=-tfrac12C1sinl(tfrac t2r)+tfrac12C2cosl(tfrac t2r),
e portanto nu'(0)=tfrac12C2=-1 leva a C2=-2. Assim, a solução particular é u(t)=-2sin(t/2).

Resposta

u(t)=C_1\cos\bigl(\tfrac t2\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac t2\bigr)

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