Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
com condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, onde vamos usar a equação característica para achar a solução geral.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à EDO:
Passo 3
Resolvendo
obtemos raízes complexas:
Passo 4
Para raízes
a solução geral é combinação de cosseno e seno. Aqui
, então
Passo 5
Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Passo 6
Em
temos
e
, logo
.
Resposta
A solução que satisfaz o PVI é
.