Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI u'' + tfrac14 u = 0 com condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=-1. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, onde vamos usar a equação característica para achar a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 14 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 + tfrac14 = 0 obtemos raízes complexas:
r = pm i2

Passo 4

Para raízes pm iomega a solução geral é combinação de cosseno e seno. Aqui omega = tfrac12, então
u(t) = C1cosl(t2r) + C2sinl(t2r)

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
u'(t) = -C112sinl(t2r) + C212cosl(t2r)

Passo 6

Em t=0 temos u(0)=C1=0 e u'(0)=C212=-1, logo C2=-2.

Resposta

A solução que satisfaz o PVI é u(t) = -2sinl(tfract2r).

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