Considere o sistema representado pela equação matricial abaixo: Y^prime= (ll2 & 1 1 & 2) Y, onde Y(t)=binomy1y2. Para este, faça o que se pede:
(b) Encontre um conjunto fundamental de soluções em R.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear de EDOs Y' = A,Y, com
2 & 11 & 2, e pede um conjunto fundamental de soluções reais. Vamos usar autovalores e autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico de A e igualamos a zero para encontrar os autovalores:
det(A - lambda I) = det2-lambda & 11 & 2-lambda = (2-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 = 0
E obtemos lambda1 = 1 e lambda2 = 3.

Passo 3

Para cada autovalor calculamos um autovetor: para lambda2 = 3 resolvemos
(A - 3I)v = 0, levando a
v^(1) propto 11;
para lambda1 = 1 resolvemos
(A - I)v = 0, levando a
v^(2) propto 1-1.

Passo 4

As soluções fundamentais associadas são os vetores exponenciais multiplicados pelos autovetores:
Y^(1)(t) = e^3t11, Y^(2)(t) = e^t1-1

Resposta

[ Y^(1)(t) = e^3t11, Y^(2)(t) = e^t1-1 ]

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