Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema de primeira ordem equivalente à EDO de segunda ordem
.
Passo 2
Passamos para um sistema de primeira ordem definindo
e o vetor de estado
. Assim obtemos
com
.
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico.
Logo, devemos resolver
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara em
temos
Passo 5
Para cada valor
, buscamos
tal que
. Da primeira linha obtém-se
, ou seja
. Podemos então escolher o autovetor padronizado:
Resposta
Os autovalores são
e os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
.