Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema de primeira ordem equivalente à EDO de segunda ordem u'' + 0,5,u' + 2,u = 0.

Passo 2

Passamos para um sistema de primeira ordem definindo u' = v e o vetor de estado x = u v. Assim obtemos
A = 0 & 1 -2 & -0.5,
com x' = A,x.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico.
det(A - lambda I) = det-lambda & 1 -2 & -0.5 - lambda = (-lambda)(-0.5 - lambda) - (-2)cdot 1 = lambda^2 + 0.5,lambda + 2
Logo, devemos resolver lambda^2 + 0.5,lambda + 2 = 0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em lambda^2 + 0.5,lambda + 2 = 0 temos
lambda = -0.5 pm raiz0.5^2 - 4cdot1cdot22 = -0.5 pm raiz-7.752 = -0.25 pm i,raiz314

Passo 5

Para cada valor lambda, buscamos vneq0 tal que (A - lambda I)v = 0. Da primeira linha obtém-se -lambda x + y = 0, ou seja y = lambda x. Podemos então escolher o autovetor padronizado:
v = 1 lambda

Resposta

Os autovalores são lambda1,2 = -0.25 pm i,tfracraiz314 e os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como v1,2 = (1,,lambda1,2)^T.

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