É proibido o uso de calculadora, celular ou qualquer outro dispositivo eletrônico;
  • Serão consideradas somente as questões escritas de forma clara e devidamente justificadas
    Questão 4( Vr. 3,5 pontos)a)(Vr. 1,0 ponto) Use as coordenadas esféricas e calcule a seguinte integral
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 d z d y d x1+x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 dz,dy,dx1+x^2+y^2+z^2
no primeiro octante do interior da esfera de raio 1. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e o que precisamos é expressar o integrando, o elemento de volume (Jacobiano) e os limites em r,theta,phi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rsinthetacosphi, y=rsinthetasinphi, z=rcostheta,
com Jacobiano r^2sintheta. No primeiro octante temos
0<= r<=1,0<=theta<=tfracpi2,0<=phi<=tfracpi2

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integralphi=0^pi/2integraltheta=0^pi/2integralr=0^111+r^2;r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 4

Como o integrando se separa em parte angular e parte em r, fazemos primeiro
integral0^pi/2sintheta,dtheta=1,
e
integral0^pi/2dphi=pi2
Então o fator angular total é 1timestfracpi2=tfracpi2

Passo 5

Fica agora o integral radial:
integral0^1r^21+r^2,dr
Para resolver, escrevemos
$$
\frac{r{2}}{1+r{2}}=1-\frac{1}{1+r^{2}} r^21+r^2=1-11+r^2ã
\int_{0}{1}\Bigl(1-\frac{1}{1+r{2}}\Bigr)dr=\Bigl[r-\arctan®\Bigr]_{0}^{1}=1-\frac{\pi}{4}.
$$

Passo 6

Multiplicando pelo fator angular tfracpi2, obtemos
pi2l(1-pi4r)=pi2-pi^28

Resposta

pi2-pi^28

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