É proibido o uso de calculadora, celular ou qualquer outro dispositivo eletrônico;
- Serão consideradas somente as questões escritas de forma clara e devidamente justificadas
Questão
Vr. 3,5 pontos)a)(Vr. 1,0 ponto) Use as coordenadas esféricas e calcule a seguinte integral
Questão
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
no primeiro octante do interior da esfera de raio 1. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e o que precisamos é expressar o integrando, o elemento de volume (Jacobiano) e os limites em
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
com Jacobiano
Passo 3
Substituindo na integral, fica
Passo 4
Como o integrando se separa em parte angular e parte em
, fazemos primeiro
e
Então o fator angular total é
Passo 5
Fica agora o integral radial:
Para resolver, escrevemos
$$
\frac{r{2}}{1+r{2}}=1-\frac{1}{1+r^{2}}
\int_{0}{1}\Bigl(1-\frac{1}{1+r{2}}\Bigr)dr=\Bigl[r-\arctan®\Bigr]_{0}^{1}=1-\frac{\pi}{4}.
$$
Passo 6
Multiplicando pelo fator angular
, obtemos