Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
© Descreva como é uma solução geral deste problema.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes: u''+0,5,u'+2,u=0. Vamos tratar isso como um sistema 2×2 definindo x1=u e x2=u'. Para resolver, precisamos usar a teoria de equações lineares homogêneas e o método dos autovalores do sistema associado.

Passo 2

Formamos o sistema de primeira ordem:
x1'=x2,x2'=-2,x1-0,5,x2

Passo 3

O passo seguinte é escrever a equação característica associada à EDO original:
r^2+0,5r+2=0

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De
ou seja, raízes complexas conjugadas dadas por
r=-0,5pm iraiz7,752=-0,25pm i,raiz314

Passo 5

Quando as raízes são alphapm ibeta, a solução geral real da EDO é
u(t)=e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r)

Resposta

A solução geral é
$$u(t)=e^{-0{,}25t}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{4}t\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{4}t\bigr)\Bigr),
$$
onde u(t)=e^-0,25tl(C1cosl(tfracraiz314tr)+C2sinl(tfracraiz314tr)r), e C1 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados