Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
Passo 1
O enunciado dá uma EDO de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
. Vamos tratar isso como um sistema 2×2 definindo
e
. Para resolver, precisamos usar a teoria de equações lineares homogêneas e o método dos autovalores do sistema associado.
Passo 2
Formamos o sistema de primeira ordem:
Passo 3
O passo seguinte é escrever a equação característica associada à EDO original:
Passo 4
Calculamos o discriminante:
ou seja, raízes complexas conjugadas dadas por
Passo 5
Quando as raízes são
, a solução geral real da EDO é
Resposta
A solução geral é
$$u(t)=e^{-0{,}25t}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{4}t\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{4}t\bigr)\Bigr),
$$
onde e
são constantes arbitrárias.
onde