Se
h(x)=integralx^x^3(1+raizt^2+4) d t
então a sua derivada h^prime(x) é:
(A) h^prime(x)=3 x^2 raizx^6+4-raizx^2+4+3 x^2-1
(B) h^prime(x)=raizx^6+4-raizx^2+4
© h^prime(x)=3 x^2 raizx^6+4-raizx^2+4+-1
(D) h^prime(x)=raizx^6+4-raizx^2+4+3 x^2-1
(E) outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ h(x) = \int_{x}{x{3}}\left(1+\sqrt{t^{2}+4}\right) dt $. Estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas de integrais definidas. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais cujo limite de integração depende de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra de Leibniz. Se temos uma função definida como $ H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $, então a derivada $ H’(x) $ é dada por:
H(x) = integrala(x)^b(x) f(t) dt
Isso significa que a derivada de uma integral com limites dependentes de $ x $ envolve avaliar a função integranda nos limites e multiplicar pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando a Regra de Leibniz ao nosso problema, identificamos:
  • $ f(t) = 1 + \sqrt{t^{2} + 4} $
  • Limite inferior: $ a(x) = x $, então $ a’(x) = 1 $
  • Limite superior: $ b(x) = x^{3} $, então $ b’(x) = 3x^{2} $

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f(b(x)) $ e $ f(a(x)) $:
f(b(x))
f(a(x))

Passo 5

Aplicando a Regra de Leibniz:
h'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
h'(x) = (1 + raizx^6 + 4) cdot 3x^2 - (1 + raizx^2 + 4) cdot 1

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
h'(x) = 3x^2 + 3x^2raizx^6 + 4 - 1 - raizx^2 + 4
Agrupando os termos semelhantes:
h'(x) = 3x^2raizx^6 + 4 - raizx^2 + 4 + 3x^2 - 1

Resposta

A derivada $ h^{\prime}(x) $ é:
h^prime(x)
Portanto, a opção correta é a Alternativa A.

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