Se
então a sua derivada
é:
(A)
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
(A)
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ h(x) = \int_{x}{x{3}}\left(1+\sqrt{t^{2}+4}\right) dt $. Estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas de integrais definidas. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais cujo limite de integração depende de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra de Leibniz. Se temos uma função definida como $ H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $, então a derivada $ H’(x) $ é dada por:
Isso significa que a derivada de uma integral com limites dependentes de $ x $ envolve avaliar a função integranda nos limites e multiplicar pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Aplicando a Regra de Leibniz ao nosso problema, identificamos:
- $ f(t) = 1 + \sqrt{t^{2} + 4} $
- Limite inferior: $ a(x) = x $, então $ a’(x) = 1 $
- Limite superior: $ b(x) = x^{3} $, então $ b’(x) = 3x^{2} $
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f(b(x)) $ e $ f(a(x)) $:
Passo 5
Aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A derivada $ h^{\prime}(x) $ é:
Portanto, a opção correta é a Alternativa A.