É proibido o uso de calculadora, celular ou qualquer outro dispositivo eletrônico;
  • Serão consideradas somente as questões escritas de forma clara e devidamente justificadas
    Questão 4( Vr. 3,5 pontos)a)(Vr. 1,0 ponto) Calcule o momento de inércia da superfície limitada pela hipérbole x y=4 e pela reta x+y=5, em relação à reta x=y.

Passo 1

O exercício pede o momento de inércia da lâmina de densidade unitária limitada pela hipérbole xy=4 e pela reta x+y=5, em relação à reta x=y. Vamos usar a definição de momento de inércia de uma região R: I=integral duplaR d^2,dA, onde d é a distância até o eixo de referência.

Passo 2

Primeiro determinamos o contorno de R. As curvas se intersectam resolvendo xy=4 e y=5-x:
x(5-x)=4 implies x^2-5x+4=0implies x=1 ou x=4 Portanto, em primeiro quadrante a região é
',

Passo 3

A distância de (x,y) até a reta x=y vale |y-x|/raiz2. Logo
I=integral duplaRl(tfrac|y-x|raiz2r)^2dA=tfrac12integral duplaR(y-x)^2,dA Montamos o integral iterado:
I=tfrac12integralx=1^4integraly=4/x^5-x(y-x)^2,dy,dx

Passo 4

Para integrar em y, fazemos u=y-x. Os limites vão de u1=4/x-x a u2=5-2x. Então
integral4/x^5-x(y-x)^2dy=integralu1^u2u^2du=l[tfracu^33r]u1^u2=tfrac(5-2x)^3-(4/x -x)^33 Substituindo em I:
I=tfrac12integral1^4tfrac(5-2x)^3-(4/x-x)^33,dx=tfrac16integral1^4l[(5-2x)^3-(4/x -x)^3r]dx Expandindo os cubos e separando termos, obtemos
I=tfrac16integral1^4l(125-162x+60x^2-7x^3+48x^-1-64x^-3r)dx Agora integramos termo a termo de 1 a 4, chegando a
integral1^4(dots)dx=-tfrac2254+48ln4 e portanto
I=tfrac16l(-tfrac2254+48ln4r)=-tfrac758+8ln4=16ln2-tfrac758

Resposta

I = 16,\ln2 - \tfrac{75}{8}

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