Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO de segunda ordem homogênea com amortecimento linear: queremos converter
u'' + 0,5,u' + 2,u = 0
num sistema equivalente de equações de primeira ordem. O conteúdo é “redução de EDO de ordem superior a sistema de primeira ordem” e para isso precisamos introduzir variáveis de estado.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado como
x1 = u,
x2 = u'
Essa escolha transforma a derivada de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem.

Passo 3

Calculamos as derivadas dessas variáveis:
Para x1:
x1' = u' = x2
Para x2:
x2' = u'' = -0,5,u' - 2,u = -0,5,x2 - 2,x1

Resposta

O sistema de primeira ordem equivalente é:
x1' = x2, x2' = -0,5,x2 - 2,x1

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