Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites em matemática, e vamos precisar manipular as potências e simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com potências de 3 e 2. Vamos fatorar o
no numerador e o
no denominador para facilitar a simplificação.
Passo 3
Vamos fatorar
no numerador e
no denominador:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão dividindo
por
:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dos termos
e
quando
tende ao infinito. Como
é uma fração menor que 1, essas potências vão se aproximar de zero conforme
cresce.
Passo 6
Substituindo esses limites na expressão simplificada:
Resposta
A sequência converge e o limite é
.