Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite: 3^n+2^n3^n+1+2^n+1n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites em matemática, e vamos precisar manipular as potências e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com potências de 3 e 2. Vamos fatorar o no numerador e o no denominador para facilitar a simplificação.

Passo 3

Vamos fatorar 3^n + 2^n3^n+1 + 2^n+1 = 3^n(1 + (23)^n)3^n+1(1 + (23)^n+1) no numerador e no denominador:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão dividindo 3^n(1 + (23)^n)3^n+1(1 + (23)^n+1) = 1 + (23)^n3(1 + (23)^n+1) por :

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dos termos limn to infty (23)^n = 0 e limn to infty (23)^n+1 = 0 e quando tende ao infinito. Como é uma fração menor que 1, essas potências vão se aproximar de zero conforme cresce.

Passo 6

Substituindo esses limites na expressão simplificada:
limn to infty 1 + 03(1 + 0) = 13

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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