Sendo an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots 2 n. Exprima an+1 em função de an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente trabalhar com uma sequência definida por uma fração de produtos ímpares sobre produtos pares até o termo . Estamos no assunto de sequências e progressões, e vamos precisar entender como as sequências estão relacionadas para achar uma expressão que conecta com .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é definido an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots 2n . A sequência é dada por:
Isso significa que no numerador temos todos os números ímpares até e no denominador, todos os números pares até .

Passo 3

Agora, queremos expressar an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots (2n+1)2 cdot 4 cdot 6 ldots 2(n+1) em função de . Vamos escrever usando a mesma definição:
Perceba que adiciona um termo ímpar no numerador ( ) e um termo par no denominador ( ).

Passo 4

Vamos relacionar an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n com an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) cdot (2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n cdot (2n+2) . Observando as duas expressões:
Perceba que é igual a multiplicado por .

Passo 5

Então, podemos escrever a relação entre an+1 = an times 2n+12n+2 e assim:

Resposta

an+1 = an cdot 2n + 12n + 2

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