Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
(e) Se a função
representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
(e) Se a função
Passo 1
Temos o PVI
, com
e
. O conteúdo aqui é converter essa EDO de 2ª ordem em um sistema de 1ª ordem e usar autovalores/autovetores para obter a solução geral, depois aplicar as condições iniciais e interpretar o resultado.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
e
. Daí
Passo 3
Em forma matricial,
e
Passo 4
Para achar os autovalores de
, montamos o polinômio característico
Passo 5
logo
Passo 6
Para
, resolvendo
obtemos por exemplo o autovetor
Passo 7
e para
temos (v_2=\overline{v_1}=
.]
Passo 8
A solução complexa geral é
Passo 9
Transformando em solução real para
, chegamos a
Passo 10
onde
são constantes reais.
Passo 11
Usando as condições iniciais: de
vem
. Calculando
e impondo
dá
, ou seja
.
Logo a solução que satisfaz o PVI é
Logo a solução que satisfaz o PVI é
Passo 12
Como não há termo de amortecimento, a massa ligado à mola executa movimento harmônico simples de frequência angular
, período
e amplitude constante
.
Resposta
(a) Sistema equivalente: x₁’=x₂, x₂’=-¼ x₁. (b) Autovalores λ=±i/2, autovetores v₁=(1, i/2)^T e v₂=(1, -i/2)^T. © Solução geral u(t)=A cos(t/2)+B sin(t/2). (d) Com u(0)=0, u’(0)=-1 → A=0, B=-2, então u(t)=-2 sin(t/2). (e) A massa oscila indefinidamente em MHS de amplitude 2, frequência 1/2 e período 4π.