Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
(e) Se a função u(t) representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?

Passo 1

Temos o PVI u''+tfrac14u=0, com u(0)=0 e u'(0)=-1. O conteúdo aqui é converter essa EDO de 2ª ordem em um sistema de 1ª ordem e usar autovalores/autovetores para obter a solução geral, depois aplicar as condições iniciais e interpretar o resultado.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado x1=u e x2=u'. Daí
x1'=x2, x2'=-tfrac14x1

Passo 3

Em forma matricial, X=(x1,x2)^T e
X'=A,X, A=0&1-tfrac14&0

Passo 4

Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det-lambda&1-tfrac14&-lambda=lambda^2+tfrac14=0,

Passo 5

logo
lambda=pmtfraci2

Passo 6

Para lambda1=i/2, resolvendo (A-lambda1I)v=0 obtemos por exemplo o autovetor
v1=1i/2,

Passo 7

e para lambda2=-i/2 temos (v_2=\overline{v_1}= 1-i/2.]

Passo 8

A solução complexa geral é
X(t)=C1e^(i/2)tv1+C2e^-(i/2)tv2

Passo 9

Transformando em solução real para u=x1, chegamos a
u(t)=Acosl(tfrac t2r)+Bsinl(tfrac t2r),

Passo 10

onde A,B são constantes reais.

Passo 11

Usando as condições iniciais: de u(0)=0 vem A=0. Calculando u'(t)=-tfrac A2sin(tfrac t2)+tfrac B2cos(tfrac t2) e impondo u'(0)=-1 tfrac B2=-1, ou seja B=-2.
Logo a solução que satisfaz o PVI é
u(t)=-2sinl(tfrac t2r)

Passo 12

Como não há termo de amortecimento, a massa ligado à mola executa movimento harmônico simples de frequência angular omega=1/2, período T=4pi e amplitude constante 2.

Resposta

(a) Sistema equivalente: x₁’=x₂, x₂’=-¼ x₁. (b) Autovalores λ=±i/2, autovetores v₁=(1, i/2)^T e v₂=(1, -i/2)^T. © Solução geral u(t)=A cos(t/2)+B sin(t/2). (d) Com u(0)=0, u’(0)=-1 → A=0, B=-2, então u(t)=-2 sin(t/2). (e) A massa oscila indefinidamente em MHS de amplitude 2, frequência 1/2 e período 4π.

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