Considere o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}+2 y-e^{-\left(t^{2}+2 t\right)} \\\ y(0)=3 \end{array}\right.
Mostre que a função y(t)=e^{-2 t}\left[\int_{0}^{t} e^{-s^{2}} d s+3\right] é solução de (1).

Passo 1

O problema pede que mostremos que a função
y(t)=e^{-2t}\Bigl[\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s+3\Bigr]
satisfaz o PVI
\begin{cases} y'+2y = e^{-\bigl(t^{2}+2t\bigr)},\\\ y(0)=3. \end{cases}
Vamos, então, 1) verificar a condição inicial e 2) calcular y' e substituir em y'+2y para conferir que obtemos e^{-(t^2+2t)}.

Passo 2

Verificação da condição inicial:
y(0)=e^{-2\cdot 0}\Bigl[\int_{0}^{0}e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s+3\Bigr] =1\cdot[0+3]=3,
logo satisfaz y(0)=3.

Passo 3

Cálculo da derivada y'. Defina
I(t)=\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s+3,
então y(t)=e^{-2t}I(t). Aplicando a regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo:
y'(t) =\bigl(e^{-2t}\bigr)'I(t)+e^{-2t}I'(t) =-2e^{-2t}I(t)+e^{-2t}\,e^{-t^{2}}.
Como e^{-2t}I(t)=y(t), obtemos
y'(t)=-2\,y(t)+e^{-2t}e^{-t^{2}}.

Passo 4

Substituindo em y'+2y:
y'(t)+2y(t) =\bigl[-2y(t)+e^{-2t}e^{-t^{2}}\bigr]+2y(t) =e^{-2t}e^{-t^{2}} =e^{-\bigl(t^{2}+2t\bigr)},
que é exatamente o termo do PVI.

Resposta

A função
y(t)=e^{-2t}\Bigl[\int_{0}^{t}e^{-s^{2}}\,\mathrm{d}s+3\Bigr]
satisfaz tanto a condição inicial y(0)=3 quanto a equação y'+2y=e^{-(t^2+2t)}, logo é solução do PVI dado.

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