Questão 10.
Considere o campo
, onde
responda as perguntas abaixo:
a) Encontre
de modo que
seja conservativo.
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função
tal que
.
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule
, onde
é a curva dada pela parametrização
.
a) Encontre
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
com
e pede:
a) achar para
ser conservativo,
b) encontrar um potencial quando
tiver esse valor,
c) calcular usando o potencial, onde
,
.
a) achar
b) encontrar um potencial
c) calcular
Passo 2
Para
ser conservativo num domínio simplesmente conectado precisamos ter
Calculemos:
Igualando-os:
Passo 3
Com
, temos
Para achar
tal que
, integramos em
:
Agora
deve ser igual a
. Calculamos
logo
e
.
Portanto podemos escolher
Portanto podemos escolher
Passo 4
Em campos conservativos a integral de linha independe de caminho e vale
Aqui
Passo 5
Logo a integral fica
Não é preciso expandir mais — esse é o valor exato em termos de
e
.
Resposta
a)
b) Podemos tomar
c)