Questão 10.

Considere o campo \vec{F}(x, y)=\left(\alpha y^{2} x^{3}+y^{2}+2 x y+x^{2}\right) \vec{i}+\left(2 y x^{4}+x^{2}+2 x y+7 y\right) \vec{j}, onde \alpha \in \mathbb{R} e responda as perguntas abaixo:
a) Encontre \alpha de modo que \vec{F}(x, y) seja conservativo.
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função f(x, y) tal que \nabla f(x, y)= \vec{F}(x, y).
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule \int_{C} \vec{F}(x, y) d \vec{r}, onde C é a curva dada pela parametrização \vec{r}(t)=\left(3 t+\sin ^{4}\left(t^{2}-t+1\right)\right) \vec{i}+\left(t^{3}+2 \cos \left(t^{2}-t+1\right)\right) \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo \displaystyle \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j com
P(x,y)=\alpha\,y^{2}x^{3}+y^{2}+2xy+x^{2}, \quad Q(x,y)=2y\,x^{4}+x^{2}+2xy+7y,
e pede:
a) achar \alpha para \vec F ser conservativo,
b) encontrar um potencial f(x,y) quando \alpha tiver esse valor,
c) calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r usando o potencial, onde \displaystyle\vec r(t)=\bigl(3t+\sin^4(t^2-t+1),\,t^3+2\cos(t^2-t+1)\bigr), 0\le t\le1.

Passo 2

Para \vec F ser conservativo num domínio simplesmente conectado precisamos ter
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y} =2\alpha\,y\,x^3+2y+2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =8y\,x^3+2x+2y.
Igualando-os:
2\alpha\,y\,x^3+2y+2x =8y\,x^3+2x+2y \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha\,y\,x^3=8y\,x^3 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=4.

Passo 3

Com \alpha=4, temos
P(x,y)=4y^2x^3+y^2+2xy+x^2.
Para achar f tal que f_x=P, integramos em x:
f(x,y) =\int\bigl(4y^2x^3+y^2+2xy+x^2\bigr)\,dx =y^2x^4+y^2x+yx^2+\frac{x^3}{3}+C(y).
Agora f_y deve ser igual a Q. Calculamos
f_y =2y\,x^4+2y\,x+x^2+C'(y) \overset!=2y\,x^4+x^2+2xy+7y,
logo C'(y)=7y e C(y)=\tfrac{7}{2}y^2.
Portanto podemos escolher
\boxed{f(x,y)=y^2x^4+y^2x+yx^2+\frac{x^3}{3}+\frac{7}{2}y^2.}

Passo 4

Em campos conservativos a integral de linha independe de caminho e vale
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(r(1)\bigr)-f\bigl(r(0)\bigr).
Aqui
r(0)=\bigl(\sin^4(1),\,2\cos(1)\bigr), \quad r(1)=\bigl(3+\sin^4(1),\,1+2\cos(1)\bigr).

Passo 5

Logo a integral fica
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(3+\sin^4(1),\,1+2\cos(1)\bigr) - f\bigl(\sin^4(1),\,2\cos(1)\bigr).
Não é preciso expandir mais — esse é o valor exato em termos de \sin(1) e \cos(1).

Resposta

a) \alpha=4
b) Podemos tomar
f(x,y)=y^2x^4+y^2x+yx^2+\frac{x^3}{3}+\frac{7}{2}y^2.
c)
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(3+\sin^4(1),\,1+2\cos(1)\bigr) - f\bigl(\sin^4(1),\,2\cos(1)\bigr).

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