Questão 11.
Considere o campo
, onde
e responda as perguntas abaixo:
a) Encontre
de modo que
seja conservativo.
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função
tal que
.
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule
, onde
é a curva dada pela parametrização
.
a) Encontre
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
pede (a) o valor de
para que
seja conservativo, (b) a função potencial
tal que
e (c) o valor da integral de linha
sobre a curva
parametrizada por
O conteúdo usado será a condição de campo conservativo em
e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Para que
seja conservativo precisamos ter
onde
e
. Calculamos
Igualando-os:
Passo 3
Com
, temos
Buscamos
tal que
. Integramos
em
:
Derivando em
:
e igualamos a
, obtendo
. Logo
e podemos tomar
. Assim
Passo 4
Como
é conservativo, vale o Teorema Fundamental:
Calculamos os extremos:
Passo 5
Avaliamo
nos pontos:
Então
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)