Questão 11.

Considere o campo \vec{F}(x, y)=\left(\alpha y x^{4}+6 y^{2}+2 x^{2}\right) \vec{i}+\left(x^{5}+12 x y+3 y\right) \vec{j}, onde \alpha \in \mathbb{R} e responda as perguntas abaixo:
a) Encontre \alpha de modo que \vec{F}(x, y) seja conservativo.
b) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), encontre uma função f(x, y) tal que \nabla f(x, y)= \vec{F}(x, y).
c) Utilizando a como o valor encontrado no item (a), calcule \int_{C} \vec{F}(x, y) d \vec{r}, onde C é a curva dada pela parametrização \vec{r}(t)=\left(3 t+\sin ^{4}(t) \ln \left(t^{2}-t+1\right)\right) \vec{i}+\left(t^{2}+2\right) \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
\vec{F}(x,y)=\bigl(\alpha\,y\,x^{4}+6y^{2}+2x^{2}\bigr)\,\vec{i} \;+\;\bigl(x^{5}+12xy+3y\bigr)\,\vec{j},
pede (a) o valor de \alpha para que \vec{F} seja conservativo, (b) a função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F} e (c) o valor da integral de linha \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r sobre a curva C parametrizada por
\vec r(t)=\bigl(3t+\sin^4(t)\,\ln(t^2-t+1),\;t^2+2\bigr), \quad 0\le t\le1.
O conteúdo usado será a condição de campo conservativo em \mathbb{R}^2 e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Para que \vec{F} seja conservativo precisamos ter
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x},
onde P(x,y)=\alpha\,y\,x^{4}+6y^{2}+2x^{2} e Q(x,y)=x^{5}+12xy+3y. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\alpha\,x^{4}+12y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =5x^{4}+12y.
Igualando-os:
\alpha\,x^{4}+12y = 5x^{4}+12y \quad\Longrightarrow\quad \alpha=5.

Passo 3

Com \alpha=5, temos
P(x,y)=5y\,x^{4}+6y^{2}+2x^{2}.
Buscamos f(x,y) tal que \partial f/\partial x = P. Integramos P em x:
f(x,y) =\int\bigl(5y\,x^{4}+6y^{2}+2x^{2}\bigr)\,dx = y\,x^{5}+6y^{2}x+\frac{2}{3}x^{3}+h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{5}+12yx + h'(y)
e igualamos a Q(x,y)=x^{5}+12xy+3y, obtendo h'(y)=3y. Logo
h(y)=\frac{3}{2}y^{2}+C
e podemos tomar C=0. Assim
f(x,y) = x^{5}y+6x y^{2}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}.

Passo 4

Como \vec{F} é conservativo, vale o Teorema Fundamental:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r = f\bigl(\vec r(1)\bigr)\;-\;f\bigl(\vec r(0)\bigr).
Calculamos os extremos:
\vec r(1)=(3+\sin^4(1)\ln1,\;3)=(3,3), \qquad \vec r(0)=(0+0\cdot\ln1,\;2)=(0,2).

Passo 5

Avaliamo f nos pontos:
f(3,3) =3\cdot3^{5}+6\cdot3\cdot3^{2}+\frac{2}{3}\,3^{3}+\frac{3}{2}\,3^{2} =729+162+18+13{,}5=922{,}5,
f(0,2) =0+0+0+\frac{3}{2}\cdot4=6.
Então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r =922{,}5-6=916{,}5=\frac{1833}{2}.

Resposta

a) \displaystyle 5
b) \displaystyle f(x,y)=x^{5}y+6x y^{2}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}y^{2}
c) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\frac{1833}{2}

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