A velocidade específica da decomposição do composto orgânico azoisopropano a
é igual a
é igual a
ordem). A partir desta informação, calcule os seguintes itens apresentados a seguir:
a) O tempo de meia-vida a
b) O percentual da amostra original decomposta ao final de 20 minutos
a) O tempo de meia-vida a
b) O percentual da amostra original decomposta ao final de 20 minutos
Passo 1
O enunciado dá a velocidade específica (constante de velocidade) da decomposição do composto azoisopropano a
e pede duas coisas. Dados e perguntas (peguei todos os números do enunciado):
- Constante de velocidade:
(reação de ordem). - Pergunta (a): calcular o tempo de meia-vida a
. - Pergunta (b): calcular o percentual da amostra original decomposta ao final de
minutos.
Passo 2
O que significa “reação de primeira ordem” e qual equação usamos? Vou explicar passo a passo.
- Seja
a quantidade (ou concentração) do composto no tempo e a quantidade inicial ( ). - Para uma reação de primeira ordem a relação diferencial é
onde
é a constante de velocidade (
). Isso diz que a taxa de mudança de
é proporcional à própria
.
- Resolver essa equação: separar variáveis e integrar.
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Aplicando
e
obtemos
, logo
- Essa fórmula é central: ela dá a fração que resta após tempo
. A fração restante é e a fração decomposta é .
Passo 3
Derivar a fórmula da meia-vida para reação de primeira ordem.
- Meia-vida
é o tempo em que . - Usando
,
- Aplicando ln em ambos os lados,
pois
. Observação:
.
Passo 4
Calcular numericamente
com
.
- Substituindo na fórmula
- Fazer a divisão:
. - Arredondando razoavelmente (duas casas decimais ou uma, conforme preferência de prova), fica
Como referência intuitiva, isso é cerca de
(ou seja, cerca de 5 horas e 30 minutos).
Passo 5
Calcular o percentual decomposto após
minutos.
- A fração que resta é
. Então a fração decomposta é
- Calcular o expoente:
Passo 6
Avaliar
sem calculadora (método prático): usar a expansão de Taylor curta ou aproximação por séries dá boa precisão para números pequenos.
- Para
,
Calcule cada termo:
Substituindo:
- Portanto a fração decomposta é
- Em percentual:
Arredondando a duas casas decimais:
.
Passo 7
Interpretação e dica para prova: a meia-vida é longa (≈330 min) comparada com 20 min, então só uma pequena fração (cerca de 4%) se decompõe em 20 min — isso bate com o cálculo exponencial. Se precisar em prova fazer rápido, calcular
e usar a aproximação
para
muito pequeno dá uma estimativa rápida: aqui
e
que já indica ~4,2% decomposto; incluir o termo
melhora para ~4,11%.