A velocidade específica da decomposição do composto orgânico azoisopropano a 250^{\circ} \mathrm{C} é igual a 250^{\circ} \mathrm{C} é igual a 2,10 \times 10^{-3} \mathrm{~min}^{-1}\left(1^{\frac{a}{a}}\right. ordem). A partir desta informação, calcule os seguintes itens apresentados a seguir:
a) O tempo de meia-vida a 250^{\circ} \mathrm{C}
b) O percentual da amostra original decomposta ao final de 20 minutos

Passo 1

O enunciado dá a velocidade específica (constante de velocidade) da decomposição do composto azoisopropano a 250^{\circ}\mathrm{C} e pede duas coisas. Dados e perguntas (peguei todos os números do enunciado):
  • Constante de velocidade: k = 2,10\times 10^{-3}\\ \mathrm{min}^{-1} (reação de \,1^{\mathrm{a}} ordem).
  • Pergunta (a): calcular o tempo de meia-vida a 250^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pergunta (b): calcular o percentual da amostra original decomposta ao final de 20 minutos.

Passo 2

O que significa “reação de primeira ordem” e qual equação usamos? Vou explicar passo a passo.
  • Seja N(t) a quantidade (ou concentração) do composto no tempo t e N_0 a quantidade inicial ( t=0).
  • Para uma reação de primeira ordem a relação diferencial é
\frac{dN}{dt} = -k\,N,
onde k é a constante de velocidade ( \mathrm{min}^{-1}). Isso diz que a taxa de mudança de N é proporcional à própria N.
  • Resolver essa equação: separar variáveis e integrar.
\frac{dN}{N} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dN}{N} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln N = -kt + C,
onde C é constante de integração. Aplicando t=0 e N(0)=N_0 obtemos C=\ln N_0, logo
N(t) = N_0\,e^{-kt}.
  • Essa fórmula é central: ela dá a fração que resta após tempo t. A fração restante é \dfrac{N(t)}{N_0}=e^{-kt} e a fração decomposta é 1-e^{-kt}.

Passo 3

Derivar a fórmula da meia-vida para reação de primeira ordem.
  • Meia-vida t_{1/2} é o tempo em que N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}.
  • Usando N(t)=N_0 e^{-kt},
\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
  • Aplicando ln em ambos os lados,
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
pois \ln(1/2)=-\ln 2. Observação: \ln 2 \approx 0,693147.

Passo 4

Calcular numericamente t_{1/2} com k = 2,10\times10^{-3}\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Substituindo na fórmula
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0,693147\ldots}{2,10\times10^{-3}}.
  • Fazer a divisão: 0,693147\div 0,00210 \approx 330,07.
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais ou uma, conforme preferência de prova), fica
t_{1/2} \approx 330,07\\ \mathrm{min}.
Como referência intuitiva, isso é cerca de 330,07\\ \mathrm{min}\div 60 \approx 5,50\\ \mathrm{h} (ou seja, cerca de 5 horas e 30 minutos).

Passo 5

Calcular o percentual decomposto após t=20 minutos.
  • A fração que resta é \dfrac{N(20)}{N_0}=e^{-k\cdot 20}. Então a fração decomposta é
\text{fração decomposta} = 1 - e^{-k\cdot 20}.çã
  • Calcular o expoente: -k\cdot 20 = -(2,10\times10^{-3})\times 20 = -0,042.

Passo 6

Avaliar e^{-0,042} sem calculadora (método prático): usar a expansão de Taylor curta ou aproximação por séries dá boa precisão para números pequenos.
  • Para x=0,042,
e^{-x} \approx 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}.
Calcule cada termo:
x = 0,042, \quad x^2 = 0,001764, \quad \frac{x^2}{2}=0,000882, \quad x^3 = 0,000074088, \quad \frac{x^3}{6}\approx 0,000012348.
Substituindo:
e^{-0,042} \approx 1 - 0,042 + 0,000882 - 0,000012348 \approx 0,9588697\ldots
  • Portanto a fração decomposta é
1 - e^{-0,042} \approx 1 - 0,9588697 = 0,0411303\ldots
  • Em percentual:
0,0411303\times 100\% \approx 4,113\%.
Arredondando a duas casas decimais: 4,11\%.

Passo 7

Interpretação e dica para prova: a meia-vida é longa (≈330 min) comparada com 20 min, então só uma pequena fração (cerca de 4%) se decompõe em 20 min — isso bate com o cálculo exponencial. Se precisar em prova fazer rápido, calcular kt e usar a aproximação e^{-x}\approx 1-x para x muito pequeno dá uma estimativa rápida: aqui x=0,042 e 1-x=0,958 que já indica ~4,2% decomposto; incluir o termo x^2/2 melhora para ~4,11%.

Resposta

t_{1/2} \approx 330{,}07\\ \mathrm{min}
\text{Percentual decomposto em }20\\ \mathrm{min} \approx 4{,}11\\ \%

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