Demonstre a propriedade do produto da transformada de Fourier.

Passo 1

O pedido é: demonstrar a propriedade do produto da transformada de Fourier. Mais precisamente, mostrar a relação entre a transformada de Fourier do produto de duas funções no tempo e as transformadas individuais no domínio da frequência. As informações e definições que vamos usar (ou que o enunciado pressupõe) são as seguintes:
  • Definição da transformada de Fourier direta: \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui \omega é a variável de frequência angular e t é a variável de tempo.
  • Definição da transformada de Fourier inversa: f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,e^{i\xi t}\,d\xi.
Aqui \xi é uma variável de frequência de integração (apenas um nome de variável).
  • Vamos também usar a mesma notação para outra função g(t) e sua transformada G(\omega): \mathcal{F}\{g(t)\} = G(\omega),\qquad g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} G(\eta)\,e^{i\eta t}\,d\eta,
onde \eta é outra variável de frequência de integração.
  • Pressupomos condições usuais de existência (por exemplo f,g são suficientemente bem comportadas, integráveis, ou pertencem a espaços que permitem trocar integrais e usar a representação de distribuições quando necessário). Se surgir alguma distribuição (como a delta de Dirac) eu vou explicar o que ela faz.
A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevo as expressões das funções f(t) e g(t) pelas suas fórmulas inversas (vou explicar cada símbolo enquanto apareça):
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)\,e^{i\xi t}\,d\xi, \qquad g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\eta)\,e^{i\eta t}\,d\eta.
  • Aqui F(\xi) é a transformada de f no ponto de frequência \xi.
  • G(\eta) é a transformada de g no ponto de frequência \eta.
  • As integrais são sobre todas as frequências possíveis (de -\infty a +\infty).
  • A constante 1/(2\pi) aparece porque estamos usando a convenção com essa constante na inversa.

Passo 3

Multiplico f(t) por g(t) usando as expressões acima. O produto é
f(t)\,g(t) = \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)\,e^{i\xi t}\,d\xi\right) \left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\eta)\,e^{i\eta t}\,d\eta\right).
Posso combinar em uma única integral dupla (produto de integrais = integral dupla), obtendo
f(t)\,g(t)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\eta)\, e^{i(\xi+\eta)t}\,d\xi\,d\eta.
Expliquei: juntamos os exponenciais porque e^{i\xi t}\,e^{i\eta t}=e^{i(\xi+\eta)t}.

Passo 4

Agora calculo a transformada de Fourier do produto f(t)g(t). Pela definição da transformada direta,
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Substituo a expressão dupla que obtivemos em cima:
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\eta)\, e^{i(\xi+\eta)t}\,d\xi\,d\eta\right] e^{-i\omega t}\,dt.
Reorganizo as expressões (exponencializando ideias: sob hipóteses de integrabilidade posso trocar a ordem de integração — isso é Fubini/Tonelli; para funções razoáveis esse passo é válido):
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\eta) \left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\xi+\eta)t}\,e^{-i\omega t}\,dt\right] d\xi\,d\eta.
Dentro dos colchetes temos a integral em t do exponencial: e^{i(\xi+\eta)t} e^{-i\omega t} = e^{i(\xi+\eta-\omega)t}.

Passo 5

Avalio a integral interna em t:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\xi+\eta-\omega)t}\,dt.
Essa integral não converge no sentido clássico, mas é interpretada no sentido de distribuições e resulta em 2\pi vezes a delta de Dirac:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\xi+\eta-\omega)t}\,dt = 2\pi\,\delta(\xi+\eta-\omega).
  • Explicação rápida sobre a delta de Dirac \delta(\cdot): é um objeto que “colapsa” integrais. A propriedade central é \int \varphi(x)\,\delta(x-a)\,dx = \varphi(a) para qualquer função teste \varphi. Aqui ela aparece naturalmente ao integrar uma exponencial oscilante sobre toda a reta (identidade usada com frequência em transformadas).
Substituindo isso na expressão anterior,
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\eta)\,\big(2\pi\,\delta(\xi+\eta-\omega)\big)\,d\xi\,d\eta.
Simplifico a constante 2\pi:
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\eta)\,\delta(\xi+\eta-\omega)\,d\xi\,d\eta.

Passo 6

Uso a propriedade da delta para executar uma das integrais. É conveniente eliminar \eta pela condição imposta pela delta: \delta(\xi+\eta-\omega) força \eta=\omega-\xi. Assim a integração em \eta “colapsa” e fica
\int_{-\infty}^{\infty} G(\eta)\,\delta(\xi+\eta-\omega)\,d\eta = G(\omega-\xi).
Portanto
\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\omega-\xi)\,d\xi.

Passo 7

Reconheço a integral \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\omega-\xi)\,d\xi como a convolução de F e G avaliada em \omega. Definição de convolução (no domínio da frequência):
(F*G)(\omega) := \int_{-\infty}^{\infty} F(\xi)\,G(\omega-\xi)\,d\xi.
Assim a identidade final fica muito limpa:
\boxed{\mathcal{F}\{f(t)\,g(t)\}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\,(F*G)(\omega).}
Interpretação em palavras (curta e amigável): multiplicar no tempo vira convoluir nas frequências, com um fator de escala 1/(2\pi) devido à convenção escolhida para a transformada inversa.

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo rápido (sem demonstrar todos os detalhes técnicos): se f(t)=e^{i\omega_0 t} e g(t)=e^{i\omega_1 t} então suas transformadas são F(\omega)=2\pi\,\delta(\omega-\omega_0) e G(\omega)=2\pi\,\delta(\omega-\omega_1). O produto f(t)g(t)=e^{i(\omega_0+\omega_1)t} tem transformada 2\pi\,\delta(\omega-(\omega_0+\omega_1)). Pela fórmula da convolução,
\frac{1}{2\pi}\,(F*G)(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int (2\pi\delta(\xi-\omega_0))(2\pi\delta(\omega-\xi-\omega_1))\,d\xi = 2\pi\,\delta(\omega-(\omega_0+\omega_1)),
que coincide com a transformada direta do produto. Isso reforça que a fórmula está correta, inclusive quando aparecem deltas.

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{f(t)\,g(t)\}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\,(F*G)(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)\,G(\omega-\xi)\,d\xi

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