Demonstre a propriedade do produto da transformada de Fourier.
Passo 1
O pedido é: demonstrar a propriedade do produto da transformada de Fourier. Mais precisamente, mostrar a relação entre a transformada de Fourier do produto de duas funções no tempo e as transformadas individuais no domínio da frequência. As informações e definições que vamos usar (ou que o enunciado pressupõe) são as seguintes:
- Definição da transformada de Fourier direta:
Aqui
é a variável de frequência angular e
é a variável de tempo.
- Definição da transformada de Fourier inversa:
Aqui
é uma variável de frequência de integração (apenas um nome de variável).
- Vamos também usar a mesma notação para outra função
e sua transformada :
onde
é outra variável de frequência de integração.
- Pressupomos condições usuais de existência (por exemplo
são suficientemente bem comportadas, integráveis, ou pertencem a espaços que permitem trocar integrais e usar a representação de distribuições quando necessário). Se surgir alguma distribuição (como a delta de Dirac) eu vou explicar o que ela faz.
A resolução começa agora.
Passo 2
Escrevo as expressões das funções
e
pelas suas fórmulas inversas (vou explicar cada símbolo enquanto apareça):
- Aqui
é a transformada de no ponto de frequência . -
é a transformada de no ponto de frequência . - As integrais são sobre todas as frequências possíveis (de
a ). - A constante
aparece porque estamos usando a convenção com essa constante na inversa.
Passo 3
Multiplico
por
usando as expressões acima. O produto é
Posso combinar em uma única integral dupla (produto de integrais = integral dupla), obtendo
Expliquei: juntamos os exponenciais porque
.
Passo 4
Agora calculo a transformada de Fourier do produto
. Pela definição da transformada direta,
Substituo a expressão dupla que obtivemos em cima:
Reorganizo as expressões (exponencializando ideias: sob hipóteses de integrabilidade posso trocar a ordem de integração — isso é Fubini/Tonelli; para funções razoáveis esse passo é válido):
Dentro dos colchetes temos a integral em
do exponencial:
.
Passo 5
Avalio a integral interna em
:
Essa integral não converge no sentido clássico, mas é interpretada no sentido de distribuições e resulta em
vezes a delta de Dirac:
- Explicação rápida sobre a delta de Dirac
: é um objeto que “colapsa” integrais. A propriedade central é para qualquer função teste . Aqui ela aparece naturalmente ao integrar uma exponencial oscilante sobre toda a reta (identidade usada com frequência em transformadas).
Substituindo isso na expressão anterior,
Simplifico a constante
:
Passo 6
Uso a propriedade da delta para executar uma das integrais. É conveniente eliminar
pela condição imposta pela delta:
força
. Assim a integração em
“colapsa” e fica
Portanto
Passo 7
Reconheço a integral
como a convolução de
e
avaliada em
. Definição de convolução (no domínio da frequência):
Assim a identidade final fica muito limpa:
Interpretação em palavras (curta e amigável): multiplicar no tempo vira convoluir nas frequências, com um fator de escala
devido à convenção escolhida para a transformada inversa.
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo rápido (sem demonstrar todos os detalhes técnicos): se
e
então suas transformadas são
e
. O produto
tem transformada
. Pela fórmula da convolução,
que coincide com a transformada direta do produto. Isso reforça que a fórmula está correta, inclusive quando aparecem deltas.