Considere o seguinte resultado: se \operatorname{det}(A)=0, então A não tem inversa. Use o resultado anterior para encontrar os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\\\ 1 & x-1 & 0 \\\\ 1 & 1 & x+1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & x-1 & 0\\\\ 1 & 1 & x+1 \end{pmatrix}
não tem inversa. Pelo resultado dado, isso acontece exatamente quando \det(A)=0. Para encontrar esses x, vamos calcular \det(A) e resolver a equação \det(A)=0.

Passo 2

Vamos expandir \det(A) pela primeira linha:
\det(A) = (-1)\,\det\begin{pmatrix}x-1 & 0\\[4pt]1 & x+1\end{pmatrix} -1\;\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & x+1\end{pmatrix} +1\;\det\begin{pmatrix}1 & x-1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}x-1 & 0\\\ 1 & x+1\end{pmatrix} =(x-1)(x+1)-0\cdot1 =x^2-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & x+1\end{pmatrix} =1\cdot(x+1)-0\cdot1 =x+1,
\det\begin{pmatrix}1 & x-1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1-(x-1)\cdot1 =2-x.

Passo 4

Substituindo na expansão:
\det(A) = -1\,(x^2-1)\;-\;(x+1)\;+\;(2-x) = -x^2+1 -x-1 +2 -x = -x^2-2x+2.
Portanto,
\det(A)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^2-2x+2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+2x-2=0.

Passo 5

A equação x^2+2x-2=0 tem raízes pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{12}}{2} = -1\pm\sqrt{3}.

Resposta

Os valores de x que fazem \det(A)=0 são
x = -1 + \sqrt{3} \quad\text{e}\quad x = -1 - \sqrt{3}.

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