Considere o seguinte resultado: se \operatorname{det}(A)=0, então A não tem inversa. Use o resultado anterior para encontrar os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & x+1 \\\\ 0 & x-1 & 0 \\\\ -1 & 1 & x+1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x+1\\\\ 0 & x-1 & 0\\\\ -1 & 1 & x+1 \end{pmatrix}
e lembra que, se \det(A)=0, então A não tem inversa. O que precisamos fazer é calcular \det(A) em função de x e achar os valores de x que tornam esse determinante zero. O conteúdo envolvido é a regra de Laplace (expansão de determinante) e resolução de equação polinomial.

Passo 2

Observamos que a segunda linha de A é \bigl(0,\;x-1,\;0\bigr), com dois zeros, então é conveniente expandir \det(A) por essa linha. Pela regra de Laplace,
\det(A) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} = (x-1)\,(-1)^{2+2}\, \det\begin{pmatrix}1 & x+1\\[4pt]-1 & x+1\end{pmatrix},
pois a_{21}=0 e a_{23}=0.]

Passo 3

Calculamos o determinante da submatriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & x+1\\[4pt]-1 & x+1\end{pmatrix} =1\cdot(x+1)-(-1)\cdot(x+1) =2(x+1).
Substituindo em \det(A), obtemos
\det(A)= (x-1)\times 2(x+1) =2(x-1)(x+1).]

Passo 4

Para que A não tenha inversa, precisamos de \det(A)=0. Assim,
2(x-1)(x+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-1=0 \quad\text{ou}\quad x+1=0,
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x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.

Resposta

Os valores de x que tornam a matriz singular (sem inversa) são
x=-1\quad\text{ou}\quad x=1.

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