Considere o seguinte resultado: Seja
uma campo vetorial de classe
em um aberto simplesmente conexo
de
ou
. Se
, então
é conservativo em
. Partindo deste fato, verifique se o campo vetorial
é conservativo em
.
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
definido em
. O fato que vamos usar é: se
é de classe
num aberto simplesmente conexo e
, então
é conservativo.
Passo 2
Verificamos que
é de classe
em
(pois só há singularidade em
, que não pertence a
) e que
é aberto e simplesmente conexo (é o primeiro quadrante, que é convexo).
Passo 3
Calculamos
Temos
Logo
Passo 4
Como
em
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. Para encontrar uma função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
Diferenciando em
devemos ter
Assim
é constante, e podemos reescrever
valendo-se da relação
no primeiro quadrante.
Resposta
Sim,
é conservativo em
. Uma potencial conveniente é