Considere o seguinte resultado: Seja F uma campo vetorial de classe C^1 em um aberto simplesmente conexo Omega de R^2 ou R^3. Se rot F=0, então F é conservativo em Omega. Partindo deste fato, verifique se o campo vetorial
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
é conservativo em Omega=(x, y) in R^2: x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(tfrac-yx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r)
definido em Omega=(x,y)inR^2:x>0,y>0. O fato que vamos usar é: se F é de classe C^1 num aberto simplesmente conexo e rotF=0, então F é conservativo.

Passo 2

Verificamos que F é de classe C^1 em Omega (pois só há singularidade em (0,0), que não pertence a Omega) e que Omega é aberto e simplesmente conexo (é o primeiro quadrante, que é convexo).

Passo 3

Calculamos
rotF =partialpartial xl(Q(x,y)r) -partialpartial yl(P(x,y)r)
Temos
partialpartial x!l(tfracxx^2+y^2r) =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partialpartial y!l(tfrac-yx^2+y^2r) =-;(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2
Logo
rotF =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -y^2-x^2(x^2+y^2)^2 =0

Passo 4

Como rotF=0 em Omega e Omega é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo. Para encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F, integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral -yx^2+y^2,dx =-integral yx^2+y^2,dx =-arctan!l(tfracxyr)+g(y)
Diferenciando em y devemos ter
phiy=xx^2+y^2+g'(y) stackrel!=Q(x,y)=xx^2+y^2 ;Longrightarrow; g'(y)=0
Assim g é constante, e podemos reescrever
phi(x,y)=-arctan!l(tfracxyr)+C =arctan!l(tfracyxr)+C',
valendo-se da relação arctan(y/x)+arctan(x/y)=pi/2 no primeiro quadrante.

Resposta

Sim, F é conservativo em Omega. Uma potencial conveniente é
phi(x,y)=arctan!l(tfracyxr)+constante

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