(2,5 pts.) Considere a regiâo
do espaço delimitado pelos planos
e
.
(a) Calcule o volume da regiâo
.
(b) Calcule a área superficial do teto da região
, isto é, da superfície
com a delimitação dada no enunciado da questão.
(a) Calcule o volume da regiâo
(b) Calcule a área superficial do teto da região
Passo 1
O enunciado pede (a) o volume da região
e (b) a área da “teto”
definido por
acima da mesma projeção em
. Vamos usar integração tripla para o volume e integral de superfície para
.
Passo 2
Identificamos a projeção
de
no plano
. Da condição
até
e de
com
vem
Para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
O volume é
Calculando
Passo 4
Para a área de
sobre
usamos
Aqui
e
, logo o integrando é
. Assim
Passo 5
Para
fazemos
,
, obtendo
Resposta
Volume:
Área do teto:
Área do teto: