(2,5 pts.) Considere a regiâo E do espaço delimitado pelos planos y=0, y=x, z=0 e z=1-x^2.
(a) Calcule o volume da regiâo E.
(b) Calcule a área superficial do teto da região E, isto é, da superfície z=1-x^2 com a delimitação dada no enunciado da questão.

Passo 1

O enunciado pede (a) o volume da região
E=(x,y,z)mid y=0,;y=x,;z=0,;z=1-x^2
e (b) a área da “teto” S definido por z=1-x^2 acima da mesma projeção em xy. Vamos usar integração tripla para o volume e integral de superfície para S.

Passo 2

Identificamos a projeção D de E no plano xy. Da condição y=0 até y=x e de z>=0 com 1-x^2>=0 vem
0<= x<=1, 0<= y<= x
Para cada (x,y)in D, z varia de 0 a 1-x^2.

Passo 3

O volume é
V=integral triplaEdV =integralx=0^1!integraly=0^x!integralz=0^1-x^2dz,dy,dx =integral0^1!integral0^x(1-x^2),dy,dx =integral0^1x,(1-x^2),dx
Calculando
integral0^1(x - x^3),dx =l[tfracx^22-tfracx^44r]0^1 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14

Passo 4

Para a área de Scolon z=1-x^2 sobre D usamos
Area(S) =integral duplaDraiz1+(partialxz)^2+(partialyz)^2;dA
Aqui partialxz=-2x e partialyz=0, logo o integrando é raiz1+4x^2. Assim
Area(S) =integralx=0^1!integraly=0^xraiz1+4x^2;dy,dx =integral0^1x,raiz1+4x^2;dx

Passo 5

Para
I=integral0^1xraiz1+4x^2,dx
fazemos u=1+4x^2, du=8x,dx, obtendo
I=18integralu=1^5!u^12du =18cdot23l[u^32r]1^5 =112l(5^32-1r) =5raiz5-112

Resposta

Volume: tfrac14
Área do teto: dfrac5raiz5-112

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