Questão 4
Seja
f(x)=ll 4-3 xx-5, & se x <= 2 2 x-2, & se x>2
(a) (1,5 pt) Encontre lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(b) (1,5 pt) Encontre lim x -infty f(x). Baseado neste limite, responda se a função f possui assíntota horizontal e, se possui, qual sua equação. (Dica: para calcular o limite divida o numerador e o denominador por x.)

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= 4-3xx-5,&x<=2,[6pt] 2x-2,&x>2,
e pede:
(a) os limites laterais em x=2;
(b) o limite quando xto -infty e, a partir dele, verificar se há assíntota horizontal.]

Passo 2

Para limxto2^-f(x) usamos a expressão válida para x<=2, isto é,
f(x)=4-3xx-5
Substituindo x=2 diretamente (já que o denominador não zera em 2),
limxto2^-f(x) =4-3cdot22-5 =4-6-3 =-2-3 =23

Passo 3

Para limxto2^+f(x) usamos a expressão válida para x>2, isto é,
f(x)=2x-2
Substituindo x=2,
limxto2^+f(x) =2cdot2-2 =4-2 =2

Passo 4

Para limxto-inftyf(x) ainda usamos o ramo 4-3xx-5. Para ver o comportamento em módulo grande de x, dividimos numerador e denominador por x:
limxto-infty4-3xx-5 =limxto-infty4x-31-5x =-31 =-3

Passo 5

Como limxto-inftyf(x)=-3 é um número finito, a reta
y=-3
é assíntota horizontal à esquerda (e, neste caso, também global), pois f(x) se aproxima de -3 quando xto-infty.

Resposta

(a) limxto2^-f(x)=tfrac23, limxto2^+f(x)=2.
(b) limxto-inftyf(x)=-3; há assíntota horizontal y=-3.

Exercícios relacionados